543. Решите уравнение: а) 25 = 26x − x²; б) 3x² = 10 − 29x; в) y² = 4y + 96;

Краткий ответ: а) \(x=1\) или \(x=25\); б) \(x=-10\) или \(x=\dfrac13\); в) \(y=-8\) или \(y=12\).

Как решать. Любое квадратное уравнение сначала приводим к виду \[ ax^2+bx+c=0. \] Затем находим дискриминант: \[ D=b^2-4ac. \] Если \(D>0\), корни такие: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]

а) \(25=26x-x^2\)

Переносим всё в левую часть: \[ x^2-26x+25=0. \] Тогда \[ D=(-26)^2-4\cdot1\cdot25=676-100=576=24^2. \] \[ x_{1,2}=\frac{26\pm24}{2}. \] Получаем: \[ x_1=\frac{26-24}{2}=1,\qquad x_2=\frac{26+24}{2}=25. \]

б) \(3x^2=10-29x\)

\[ 3x^2+29x-10=0, \] \[ D=29^2-4\cdot3\cdot(-10)=841+120=961=31^2. \] \[ x_{1,2}=\frac{-29\pm31}{6}. \] Отсюда: \[ x_1=\frac{-29+31}{6}=\frac13,\qquad x_2=\frac{-29-31}{6}=-10. \]

в) \(y^2=4y+96\)

\[ y^2-4y-96=0, \] \[ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-96)=16+384=400=20^2. \] \[ y_{1,2}=\frac{4\pm20}{2}. \] Значит: \[ y_1=\frac{4-20}{2}=-8,\qquad y_2=\frac{4+20}{2}=12. \]

Проверка подстановкой сходится:

• \(26\cdot1-1^2=25\), \(26\cdot25-25^2=25\);
• \(3\cdot\left(\frac13\right)^2=\frac13\), \(3\cdot(-10)^2=10-29\cdot(-10)\);
• \((-8)^2=4\cdot(-8)+96\), \(12^2=4\cdot12+96\).