Задание 7. Сравните графики. Даны функции: y = 3x; y = 1/3 x; y = −3x

Краткий ответ

Как это понять

Все три функции — прямые пропорциональности вида \(y = kx\), их графики проходят через начало координат. Всё решает коэффициент \(k\):

• Знак \(k\) задаёт направление: если \(k > 0\), прямая идёт «вверх слева направо» (функция возрастает); если \(k < 0\) — «вниз» (функция убывает).
• Модуль \(k\) задаёт крутизну: чем больше \(|k|\), тем сильнее прямая отклоняется от оси \(x\), тем «круче» она поднимается или опускается.

Сравним: \(k = 3\), \(k = \dfrac{1}{3}\), \(k = -3\).

1. «Круче» всех вверх — наибольший положительный коэффициент: \(k = 3\), то есть \(y = 3x\). При \(x = 1\) получаем \(y = 3\) — за один шаг вправо подъём на 3 единицы вверх.
2. Медленнее всего растёт — наименьший положительный: \(k = \dfrac{1}{3}\), то есть \(y = \dfrac{1}{3}x\). При \(x = 3\) только \(y = 1\): поднимается совсем полого.
3. Убывает только функция с отрицательным \(k\): \(y = -3x\).
4. I и III четверти. В I четверти \(x > 0,\ y > 0\), в III — \(x < 0,\ y < 0\). Значит, знаки \(x\) и \(y\) совпадают, а это возможно при \(k > 0\). Подходят обе возрастающие функции: \(y = 3x\) и \(y = \dfrac{1}{3}x\).
5. II и IV четверти. В II четверти \(x < 0\), но \(y > 0\); в IV — \(x > 0\), а \(y < 0\). Знаки противоположны, значит \(k < 0\). Это \(y = -3x\).

Проверка

Возьмём по две точки на каждой прямой:

• \(y = 3x:\ (1;\,3)\) — за 1 вправо 3 вверх;
• \(y = \dfrac{1}{3}x:\ (3;\,1)\) — за 3 вправо 1 вверх (положе, чем первая);
• \(y = -3x:\ (1;\,-3)\) — идёт вниз, попадает в IV четверть; при \(x = -1\) имеем \(y = 3\), то есть II четверть.

Порядок крутизны \(3 > \dfrac{1}{3} > |-3|\) по модулю одинаков у первой и третьей, но направления противоположны — ответы согласуются.