236

По фото это задание 236: «Найдите корни уравнения». Читаю так:

\[ \text{а) } \frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}=\frac{12x+4}{x^2+2x-3} \] \[ \text{б) } \frac{5x-1}{x+7}-\frac{2x+2}{x-3}+\frac{63}{x^2+4x-21}=0 \] \[ \text{в) } \frac{x}{x^2+4x+4}-\frac{4}{x^2-4}=\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8} \]

Ответы: а) \(-1;\ 7\); б) \(2;\ \frac{26}{3}\); в) \(3\pm\sqrt{33}\).

а) ОДЗ: \(x\ne 1,\ x\ne -3\), ведь \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\).

Умножаю всё на \((x-1)(x+3)\):

\[ (3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)=12x+4 \]

\[ (3x^2+7x-6)-(2x^2+x-3)=12x+4 \]

\[ x^2+6x-3=12x+4 \;\Rightarrow\; x^2-6x-7=0 \]

\[ (x-7)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=7,\ x=-1 \]

Оба корня входят в ОДЗ.

б) ОДЗ: \(x\ne -7,\ x\ne 3\), так как \(x^2+4x-21=(x+7)(x-3)\).

Умножаю на \((x+7)(x-3)\):

\[ (5x-1)(x-3)-(2x+2)(x+7)+63=0 \]

\[ (5x^2-16x+3)-(2x^2+16x+14)+63=0 \]

\[ 3x^2-32x+52=0 \]

\[ D=(-32)^2-4\cdot 3\cdot 52=1024-624=400,\quad \sqrt{D}=20 \]

\[ x=\frac{32\pm 20}{6} \;\Rightarrow\; x=\frac{52}{6}=\frac{26}{3},\quad x=\frac{12}{6}=2 \]

Оба корня входят в ОДЗ.

в) Разложу знаменатели:

\[ x^2+4x+4=(x+2)^2,\qquad x^2-4=(x-2)(x+2) \]

\[ x^3+2x^2-4x-8=(x+2)(x^2-4)=(x+2)^2(x-2) \]

ОДЗ: \(x\ne \pm 2\). Умножаю на \((x+2)^2(x-2)\):

\[ x(x-2)-4(x+2)=16 \]

\[ x^2-2x-4x-8=16 \;\Rightarrow\; x^2-6x-24=0 \]

\[ D=36+96=132=(2\sqrt{33})^2 \]

\[ x=\frac{6\pm 2\sqrt{33}}{2}=3\pm\sqrt{33} \]

Оба корня входят в ОДЗ.

Принцип: в дробно-рациональных уравнениях сначала записываем ОДЗ, затем умножаем на общий знаменатель — получается обычное квадратное уравнение. Корни обязательно сверяем с ОДЗ.