покажи как будет выглядеть графиг функции y= 3/x+1
Кратко: график функции
\[ y=\frac{3}{x}+1 \]
— это гипербола \(y=\frac{3}{x}\), сдвинутая на \(1\) единицу вверх.
У неё две ветви и две асимптоты:
\[ x=0 \quad\text{и}\quad y=1. \]
То есть график не проходит через ось \(Oy\) и бесконечно приближается к горизонтальной прямой \(y=1\), но не пересекает её.
Полезные точки:
| \(x\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0{,}5\) | \(0\) | \(-0{,}5\) | \(-2\) | \(-5\) | \(7\) | \(4\) | \(2{,}5\) | \(2\) | \(1{,}5\) |
Как построить:
- Сначала вспомни график \(y=\frac{3}{x}\): две ветви, асимптоты \(x=0\) и \(y=0\).
- Подними каждую точку на \(1\) вверх — получится \(y=\frac{3}{x}+1\).
- Нарисуй пунктиром асимптоты \(x=0\) и \(y=1\).
- Отметь точки из таблицы.
- Плавно соедини точки отдельно справа и слева. Через \(x=0\) график проводить нельзя: там функция не существует.
Ветвь при \(x>0\) лежит выше прямой \(y=1\), а ветвь при \(x<0\) — ниже неё. График пересекает ось \(Ox\) в точке \((-3;0)\).
Я проверил по точкам: например, при \(x=1\) получается \(y=4\), при \(x=3\) — \(y=2\), при \(x=-3\) — \(y=0\). Всё сходится.
Если имелось в виду \(y=\frac{3}{x+1}\), это уже другая функция — сдвиг влево на \(1\), а не вверх.
Обсуждение
4 сообщенияимелось в виду друрая функция
Тогда речь о функции
\[ y=\frac{3}{x+1}. \]
Это та же гипербола \(y=\frac{3}{x}\), но сдвинутая не вверх, а влево на 1: в формуле \(x\) заменили на \(x+1\).
Асимптоты (пунктиром):
\[ x=-1 \quad\text{и}\quad y=0. \]
Вертикальная асимптота переехала из \(x=0\) в \(x=-1\), а горизонтальная осталась осью \(Ox\).
Точки для построения:
| \(x\) | \(-7\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2{,}5\) | \(-2\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(2\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-0{,}5\) | \(-1\) | \(-1{,}5\) | \(-2\) | \(-3\) | \(6\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0{,}5\) |
С осью \(Oy\) график пересекается в точке \((0;3)\). С осью \(Ox\) пересечений нет: \(\frac{3}{x+1}\) никогда не равно нулю.
Как выглядит график:
- левая ветвь — при \(x<-1\), целиком ниже оси \(Ox\): приближается к \(y=0\) слева и уходит вниз к \(-\infty\) у прямой \(x=-1\);
- правая ветвь — при \(x>-1\), целиком выше оси \(Ox\): спускается от \(+\infty\) у прямой \(x=-1\) и приближается к \(y=0\) справа;
- обе ветви убывают на своих промежутках.
Как построить: начерти пунктиром прямые \(x=-1\) и \(y=0\), отметь точки из таблицы, плавно соедини их отдельно слева и справа от \(x=-1\). Через саму точку \(x=-1\) график проводить нельзя — там функция не определена.
Сравнение: \(y=\frac{3}{x}+1\) — сдвиг вверх на 1 (асимптота \(y=1\)), а \(y=\frac{3}{x+1}\) — сдвиг влево на 1 (асимптота \(x=-1\)).
напиши точки для построения
Вот готовые точки для \(y=\dfrac{3}{x+1}\). Считал так: подставлял \(x\) и вычислял \(y\); удобно брать такие \(x\), чтобы \(x+1\) делило \(3\) — тогда \(y\) получается точным.
| \(x\) | \(-7\) | \(-5{,}5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2{,}5\) | \(-2\) | \(-1{,}5\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(3{,}5\) | \(5\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-0{,}5\) | \(-\frac{2}{3}\) | \(-1\) | \(-1{,}5\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-6\) | \(6\) | \(3\) | \(2\) | \(1{,}5\) | \(1\) | \(\frac{2}{3}\) | \(0{,}5\) | \(\frac{1}{3}\) |
Разбивка по ветвям:
- левая ветвь (\(x<-1\)): \((-7;-0{,}5)\), \((-5{,}5;-\frac{2}{3})\), \((-4;-1)\), \((-3;-1{,}5)\), \((-2{,}5;-2)\), \((-2;-3)\), \((-1{,}5;-6)\);
- правая ветвь (\(x>-1\)): \((-0{,}5;6)\), \((0;3)\), \((0{,}5;2)\), \((1;1{,}5)\), \((2;1)\), \((3{,}5;\frac{2}{3})\), \((5;0{,}5)\), \((8;\frac{1}{3})\).
Что важно при построении:
- Пунктиром проведи \(x=-1\) (вертикальная асимптота) и \(y=0\) (ось \(Ox\)).
- Четыре «красивые» целые точки — \((-4;-1)\), \((-2;-3)\), \((0;3)\), \((2;1)\); на них удобно опираться.
- Точки \((-1{,}5;-6)\) и \((-0{,}5;6)\) показывают, как ветви «улетают» вниз и вверх у асимптоты — их стоит отметить обязательно.
- Бери масштаб примерно \(1\) клетка = \(1\) единица; если тетрадь мелкая, можно округлить \(\frac{2}{3}\approx0{,}7\) и \(\frac{1}{3}\approx0{,}3\).
- Точку \(x=-1\) не отмечай вовсе: функция там не существует.
