364. Сравните числа: а) √27 и √28; б) √1,3 и √1,5; в) √7 и 3

Я решил оба номера, которые полностью видны: 364 и 365. В 366 в кадре только заголовок.

364. Сравните числа

а) \(\sqrt{27}<\sqrt{28}\)
б) \(\sqrt{1{,}3}<\sqrt{1{,}5}\)
в) \(\sqrt{7}<3\), потому что \(3=\sqrt{9}\)
г) \(\sqrt{6{,}25}=2{,}5\)
д) \(\sqrt{\frac{1}{5}}>\sqrt{\frac{1}{6}}\)
е) \(\sqrt{0{,}8}<1\)
ж) \(\sqrt{0{,}18}>0{,}4\), потому что \(0{,}4=\sqrt{0{,}16}\)
з) \(\sqrt{\frac{4}{5}}<\sqrt{\frac{5}{6}}\)
и) \(\sqrt{3{,}5}<\sqrt{3\frac{2}{3}}\)

365. Расположите в порядке возрастания

а) \(\sqrt{0{,}07}<\sqrt{0{,}6}<\sqrt{2{,}3}<\sqrt{16{,}4}<\sqrt{19{,}5}\)

б) \(\sqrt{0{,}3}<\sqrt{12}<4<\sqrt{16{,}5}<\sqrt{18}\)

в) \(\frac{1}{9}<\sqrt{\frac{1}{3}}<\sqrt{0{,}5}<\sqrt{2\frac{1}{9}}<2\frac{1}{7}\)

г) \(-1<0{,}7<\sqrt{1{,}04}<\sqrt{1\frac{1}{3}}<\sqrt{1{,}7}\)

Как рассуждать

Главное правило: на промежутке \([0;+\infty)\) функция \(y=\sqrt{x}\) возрастает. Поэтому для неотрицательных чисел:

\[ a<b \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{a}<\sqrt{b}. \]

То есть корни можно сравнивать по подкоренным выражениям.

Если корень сравнивают с обычным неотрицательным числом, это число удобно записать как корень:

\[ 3=\sqrt{9},\qquad 1=\sqrt{1},\qquad 0{,}4=\sqrt{0{,}16},\qquad 2{,}5=\sqrt{6{,}25}. \]

Например, в 364(ж):

\[ \sqrt{0{,}18}>\sqrt{0{,}16}=0{,}4. \]

В 364(и) сначала сравниваем сами числа:

\[ 3{,}5=3\frac{1}{2}=\frac{21}{6},\qquad 3\frac{2}{3}=\frac{22}{6}. \]

Значит, \(3{,}5<3\frac{2}{3}\), поэтому и корень из первого числа меньше.

В 365 удобно сравнивать квадраты чисел. Например, в пункте в):

\[ \frac{1}{9}=\sqrt{\frac{1}{81}},\qquad 2\frac{1}{7}=\sqrt{\frac{225}{49}}, \]

поэтому порядок такой:

\[ \frac{1}{9}<\sqrt{\frac{1}{3}}<\sqrt{0{,}5}<\sqrt{2\frac{1}{9}}<2\frac{1}{7}. \]

Проверка по приближениям: \(\sqrt{\frac{1}{3}}\approx0{,}577\), \(\sqrt{0{,}5}\approx0{,}707\), \(\sqrt{2\frac{1}{9}}\approx1{,}45\), \(2\frac{1}{7}\approx2{,}14\) — порядок верный.

В пункте г) число \(-1\) отрицательное, поэтому оно стоит первым; остальные числа положительны, и их можно сравнивать по квадратам.