248. Упростите выражение: а) (x − 4xy/(x+y) + y) · (x + 4xy/(x−y) − y); б) (a − (1−2a²)/(1−a) + 1) : (1 − 1/(1−a)).

Кратко: а) \(x^2-y^2\); б) \(-a\).

Пункт а)

\[ \left(x-\frac{4xy}{x+y}+y\right)\left(x+\frac{4xy}{x-y}-y\right) \]

Сгруппируем \(x+y\) в первой скобке и \(x-y\) во второй. Приведём каждую скобку к общему знаменателю: \[ x+y-\frac{4xy}{x+y} =\frac{(x+y)^2-4xy}{x+y} =\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x+y} =\frac{(x-y)^2}{x+y}, \] \[ x-y+\frac{4xy}{x-y} =\frac{(x-y)^2+4xy}{x-y} =\frac{x^2-2xy+y^2+4xy}{x-y} =\frac{(x+y)^2}{x-y}. \]

Теперь перемножим и сократим: \[ \frac{(x-y)^2}{x+y}\cdot\frac{(x+y)^2}{x-y} =(x-y)(x+y)=x^2-y^2. \]

ОДЗ: \(x\ne y\), \(x\ne -y\).

Пункт б)

\[ \left(a-\frac{1-2a^2}{1-a}+1\right):\left(1-\frac{1}{1-a}\right) \]

Сначала упростим первую скобку. Сгруппируем \(a+1\): \[ a+1-\frac{1-2a^2}{1-a} =\frac{(a+1)(1-a)-(1-2a^2)}{1-a} =\frac{1-a^2-1+2a^2}{1-a} =\frac{a^2}{1-a}. \]

Вторая скобка: \[ 1-\frac{1}{1-a} =\frac{1-a-1}{1-a} =\frac{-a}{1-a}. \]

Деление заменяем умножением на обратную дробь: \[ \frac{a^2}{1-a}:\frac{-a}{1-a} =\frac{a^2}{1-a}\cdot\frac{1-a}{-a} =-a. \]

ОДЗ: \(a\ne 1\), \(a\ne 0\).

Проверка

При \(x=2,\ y=1\): \[ \left(2-\frac{8}{3}+1\right)\left(2+\frac{8}{1}-1\right) =\frac13\cdot 9=3, \] и \(x^2-y^2=4-1=3\) — совпало.

При \(a=2\): \[ \left(2-\frac{1-8}{1-2}+1\right):\left(1-\frac{1}{1-2}\right) =(-4):2=-2, \] и \(-a=-2\) — совпало.

Что запомнить: сначала выписывай ОДЗ, затем упрощай каждую скобку до одной дроби. При делении дробей вторая дробь переворачивается, а при сокращении важно не потерять ограничения на знаменатели.