Чему равен неопределённый интеграл ∫4x³ dx?

Ответ: c. \(x^{4}+C\)

Как это получается

Нужен табличный интеграл степенной функции:

\[ \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1 \]

Плюс правило: постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

\[ \int 4x^{3}\,dx=4\int x^{3}\,dx=4\cdot\frac{x^{4}}{4}+C=x^{4}+C \]

Проверка

Интеграл проверяют дифференцированием — должна получиться подынтегральная функция:

\[ \left(x^{4}+C\right)'=4x^{3}+0=4x^{3} \]

Сошлось, значит ответ верный.

Почему остальные варианты не подходят

• a. \(x^{3}+C\) — степень не увеличилась, правило не применено.
• b. \(12x^{2}+C\) — это производная от \(4x^{3}\), то есть действие выполнено «наоборот».
• d. \(4x^{4}+C\) — множитель 4 не сократился при делении на \(4\). При проверке получилось бы \(16x^{3}\), а не \(4x^{3}\).

Главное правило: при интегрировании степени показатель увеличивается на 1, а результат делится на новый показатель. Коэффициент при \(x\) просто умножается на эту дробь.