Дома на 11.11

Краткие ответы

1. \(x\in(-\infty;-3)\cup\left(\frac{1}{2};+\infty\right)\)
2. \(x\in(-4;3)\)
3. \(x\in(-0{,}5;0{,}5)\)
4. \(x\in(-\infty;-0{,}4)\cup(0{,}4;+\infty)\)
5. \(x\in(-0{,}5;0{,}5)\)
6. \(x\in(-4;-3)\)
7. \(x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\)

Как это решается

Для квадратного неравенства сначала находят корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\). Затем смотрят на знак коэффициента \(a\):

• если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх: выражение положительно вне корней, отрицательно между корнями;
• если \(a<0\), удобно умножить неравенство на \(-1\), поменяв знак неравенства на противоположный.

Разбор первого задания

\[ 2x^2+5x-3=0 \]

\[ D=25+24=49,\qquad x_1=\frac{-5+7}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{-5-7}{4}=-3 \]

Можно разложить:

\[ 2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3) \]

Ветви параболы направлены вверх, поэтому \(>0\) будет вне корней:

\[ x\in(-\infty;-3)\cup\left(\frac12;+\infty\right) \]

Проверка: при \(x=0\) выражение равно \(-3<0\), значит середина не подходит; при \(x=1\) получаем \(4>0\), внешний промежуток подходит.

Остальные кратко

2. \(-x^2-x+12>0 \iff x^2+x-12<0 \iff (x+4)(x-3)<0\), значит \(-4<x<3\).

3. \(x^2<0{,}25 \iff |x|<0{,}5\), значит \(-0{,}5<x<0{,}5\).

4. \(x^2>0{,}16 \iff |x|>0{,}4\), значит \(x<-0{,}4\) или \(x>0{,}4\).

5. \(\frac14-x^2>0 \iff x^2<\frac14\), значит \(-0{,}5<x<0{,}5\).

6. \(x^2+7x+12<0 \iff (x+3)(x+4)<0\), значит \(-4<x<-3\).

7. \(-x^2+3x-2<0 \iff x^2-3x+2>0 \iff (x-1)(x-2)>0\), значит \(x<1\) или \(x>2\).

Все границы в ответах круглые, потому что неравенства строгие: сами корни не включаются.