Выясните, является ли функция четной или нечетной: 1) f(x)=2x³−x⁵; 2) f(x)=x² cos x

Краткий ответ:

1. \(f(x)=2x^3-x^5\) — нечётная функция;
2. \(f(x)=x^2\cos x\) — чётная функция.

Как это проверяется. Сравниваем \(f(-x)\) с \(f(x)\):

• если \(f(-x)=f(x)\), функция чётная;
• если \(f(-x)=-f(x)\), функция нечётная.

Область определения у обеих функций — все действительные числа, она симметрична относительно нуля.

1)
\[ f(-x)=2(-x)^3-(-x)^5=-2x^3+x^5=-(2x^3-x^5)=-f(x). \] Значит, функция нечётная.

Можно заметить: \(2x^3\) и \(-x^5\) — нечётные функции, а сумма нечётных функций тоже нечётная.

2)
\[ f(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cos x=f(x). \] Так как \((-x)^2=x^2\), а \(\cos(-x)=\cos x\), функция чётная.

Проверка: для первой функции \(f(1)=1\), \(f(-1)=-1\); для второй \(f(1)=f(-1)=\cos 1\). Это согласуется с выводами.