399 номер сделай с рисунком

Question

Расшифровка фото нейросетью:
399. Решите графически систему уравнений:
а) $\begin{cases} x^2+y^2=16,\ x+y+2=0; \end{cases}$
б) $\begin{cases} xy=8,\ x+y+3=0; \end{cases}$
в) $\begin{cases} xy-3=0,\ 2y-3x=3; \end{cases}$
г) $\begin{cases} x^2-y=0,\ (9x+4)(y-9)=0. \end{cases}$

Answer

Краткий ответ

а) $(-1+\sqrt{7};\,-1-\sqrt{7})$, $(-1-\sqrt{7};\,-1+\sqrt{7})$.
Примерно: $(1{,}65;\,-3{,}65)$ и $(-3{,}65;\,1{,}65)$.

б) Решений нет: графики не пересекаются.

в) $(1;3)$, $\left(-2;-\dfrac{3}{2}\right)$.

г) $\left(-3;9\right)$, $\left(-\dfrac{4}{9};\dfrac{16}{81}\right)$, $(3;9)$.

Графический способ. Строим в одной системе координат графики обоих уравнений. Координаты точек пересечения и есть решения системы. Если пересечений нет — решений нет.

а)

$$
\begin{cases}
x^2+y^2=16,\
x+y+2=0.
\end{cases}
$$

Рисуем окружность с центром $O(0;0)$ и радиусом $4$: удобные точки $(4;0)$, $(0;4)$, $(-4;0)$, $(0;-4)$.

Второе уравнение — прямая:
$$
y=-x-2.
$$
Она проходит через $(-2;0)$ и $(0;-2)$. На рисунке прямая пересекает окружность в двух точках.

Подстановкой:
$$
x^2+(-x-2)^2=16,
$$
$$
2x^2+4x+4=16,
$$
$$
x^2+2x-6=0.
$$
Корни:
$$
x=-1\pm\sqrt{7}.
$$
Так как $y=-x-2$, получаем:
$$
(-1+\sqrt{7};\,-1-\sqrt{7}),\qquad
(-1-\sqrt{7};\,-1+\sqrt{7}).
$$

б)

$$
\begin{cases}
xy=8,\
x+y+3=0.
\end{cases}
$$

Первое уравнение — гипербола $xy=8$, ветви в I и III четвертях. Удобные точки: $(2;4)$, $(4;2)$, $(-2;-4)$, $(-4;-2)$.

Второе уравнение:
$$
y=-x-3.
$$
Прямая проходит через $(-3;0)$ и $(0;-3)$. На рисунке общих точек с гиперболой нет.

Проверка:
$$
x(-x-3)=8,
$$
$$
-x^2-3x=8,
$$
$$
x^2+3x+8=0.
$$
Дискриминант:
$$
D=9-32=-23<0.
$$
Значит, действительных решений нет.

в)

$$
\begin{cases}
xy-3=0,\
2y-3x=3.
\end{cases}
$$

Строим гиперболу $xy=3$. Её удобные точки: $(1;3)$, $(3;1)$, $(-1;-3)$, $(-3;-1)$.

Вторая прямая:
$$
2y=3x+3,\qquad y=\frac{3x+3}{2}.
$$
Она проходит, например, через $(0;1{,}5)$, $(-1;0)$, $(1;3)$. На рисунке она пересекает ветви гиперболы в двух точках.

Подстановка:
$$
x\cdot\frac{3x+3}{2}=3,
$$
$$
3x^2+3x=6,
$$
$$
x^2+x-2=0,
$$
$$
x=1 \quad \text{или}\quad x=-2.
$$
Тогда:

при $x=1$: $y=3$;

при $x=-2$: $y=-\frac{3}{2}$.

Ответ: $(1;3)$ и $\left(-2;-\frac{3}{2}\right)$.

г)

$$
\begin{cases}
x^2-y=0,\
(9x+4)(y-9)=0.
\end{cases}
$$

Первое уравнение — парабола:
$$
y=x^2.
$$
Её удобные точки: $(-3;9)$, $(-2;4)$, $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;1)$, $(2;4)$, $(3;9)$.

Второе уравнение распадается на две прямые:
$$
9x+4=0 \quad \text{или}\quad y-9=0,
$$
то есть
$$
x=-\frac{4}{9}\quad \text{или}\quad y=9.
$$

На рисунке:

горизонтальная прямая $y=9$ пересекает параболу в точках $(-3;9)$ и $(3;9)$;

вертикальная прямая $x=-\frac{4}{9}$ пересекает параболу в точке
$$
\left(-\frac{4}{9};\left(-\frac{4}{9}\right)^2\right)
=
\left(-\frac{4}{9};\frac{16}{81}\right).
$$

Точка $\left(-\frac{4}{9};9\right)$ — пересечение самих двух прямых, но она не лежит на параболе, поэтому решением не является.

Ответ г): $\left(-3;9\right)$, $\left(-\dfrac{4}{9};\dfrac{16}{81}\right)$, $(3;9)$.

Все найденные пары я проверил подстановкой в исходные уравнения — они подходят.