Почему f'(0) = 0 для f(x) = x³ не означает экстремума в нуле?

Ответ: c. Производная не меняет знак при переходе через нуль.

Почему так:

1. Находим производную: \[ f'(x)=(x^3)'=3x^2. \]

2. В нуле: \[ f'(0)=3\cdot 0^2=0. \] Значит, в точке \(x=0\) касательная горизонтальна. Но равенство \(f'(x_0)=0\) — только необходимое условие экстремума для дифференцируемой функции, а не достаточное.

3. Проверяем знак производной: \[ 3x^2>0 \quad \text{при } x\ne 0. \] Слева и справа от нуля производная положительна. Значит, функция возрастает и до нуля, и после него.

4. Поэтому в \(x=0\) нет ни максимума, ни минимума: это точка перегиба с горизонтальной касательной. Для экстремума производная должна сменить знак: с \(+\) на \(-\) — максимум, с \(-\) на \(+\) — минимум.

Проверка: например, \[ f(-0{,}1)=-0{,}001,\qquad f(0)=0,\qquad f(0{,}1)=0{,}001. \] Рядом с нулём есть значения и меньше, и больше \(f(0)\), поэтому экстремума нет.

Остальные варианты неверны: в нуле функция определена, непрерывна, а производная конечна и равна нулю.