Уравнение движения гармонического колебания имеет вид: x= 0,02 cos пt Построить график зависимости x(t). Найти смещение через 0,25 с; через 1,25 с. Ответы пояснить с помощью…
Уравнение движения гармонического колебания имеет вид: x= 0,02 cos пt Построить график зависимости x(t). Найти смещение через 0,25 с; через 1,25 с. Ответы пояснить с помощью графика.
Кратко:
Амплитуда \(A=0{,}02\) м, период \(T=2\) с.
В момент \(t=0{,}25\) с:
\[
x=0{,}02\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\approx 0{,}0141\text{ м}=1{,}41\text{ см}.
\]
В момент \(t=1{,}25\) с:
\[
x=0{,}02\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)\approx -0{,}0141\text{ м}=-1{,}41\text{ см}.
\]
Знак «минус» означает, что точка находится по другую сторону от положения равновесия. Если нужна только величина смещения от равновесия, то в оба момента она равна \(1{,}41\) см.
Как построить график
Уравнение имеет вид \[ x=A\cos(\omega t), \] где \(A=0{,}02\) м, \(\omega=\pi\) рад/с. Тогда \[ T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\pi}=2\text{ с}. \]
График — косинусоида с амплитудой \(0{,}02\) м и периодом \(2\) с. Удобно отметить точки:
| \(t\), с | \(0\) | \(0{,}25\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(1{,}25\) | \(1{,}5\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\), м | \(0{,}020\) | \(0{,}014\) | \(0\) | \(-0{,}020\) | \(-0{,}014\) | \(0\) | \(0{,}020\) |
Пояснение по графику:
При \(t=0{,}25\) с точка находится выше оси \(t\): смещение положительное. При \(t=1{,}25\) с — ниже оси: смещение отрицательное. Моменты отличаются на \(1\) с, то есть на полпериода, поэтому колебания находятся в противоположных фазах, а модули смещений одинаковы.
Обсуждение
6 сообщенийдано и решение запиши
Дано: \[ x=0{,}02\cos(\pi t),\quad t_1=0{,}25\text{ с},\quad t_2=1{,}25\text{ с} \] Найти: \(x(t_1)\), \(x(t_2)\), построить график \(x(t)\).
Решение
Уравнение гармонического колебания имеет вид \[ x=A\cos(\omega t). \] Сравниваем с заданным уравнением: \[ A=0{,}02\text{ м}=2\text{ см},\qquad \omega=\pi\text{ рад/с}. \]
Период колебаний: \[ T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\pi}=2\text{ с}. \]
1) При \(t_1=0{,}25\) с: \[ x_1=0{,}02\cos(\pi\cdot0{,}25) =0{,}02\cos\frac{\pi}{4} =0{,}02\cdot\frac{\sqrt2}{2} \approx0{,}0141\text{ м}. \] \[ x_1\approx1{,}41\text{ см}. \]
2) При \(t_2=1{,}25\) с: \[ x_2=0{,}02\cos(\pi\cdot1{,}25) =0{,}02\cos\frac{5\pi}{4} =0{,}02\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) \approx-0{,}0141\text{ м}. \] \[ x_2\approx-1{,}41\text{ см}. \]
График \(x(t)\)
Это косинусоида с амплитудой \(2\) см и периодом \(2\) с. Удобные точки для построения:
| \(t\), с | \(0\) | \(0{,}25\) | \(0{,}5\) | \(0{,}75\) | \(1\) | \(1{,}25\) | \(1{,}5\) | \(1{,}75\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\), см | \(2\) | \(1{,}41\) | \(0\) | \(-1{,}41\) | \(-2\) | \(-1{,}41\) | \(0\) | \(1{,}41\) | \(2\) |
Ответ: \[ x_1\approx0{,}014\text{ м}=1{,}4\text{ см}, \qquad x_2\approx-0{,}014\text{ м}=-1{,}4\text{ см}. \]
По графику при \(t=0{,}25\) с точка находится выше оси \(t\), поэтому смещение положительное. При \(t=1{,}25\) с точка находится ниже оси, поэтому смещение отрицательное. Эти два момента отличаются на \(1\) с, то есть на половину периода, поэтому смещения равны по модулю и противоположны по знаку.
оставь все в метрах
Хорошо, всё оставляю в метрах.
Дано: \[ x=0{,}02\cos(\pi t)\ \text{(м)},\qquad t_1=0{,}25\ \text{с},\qquad t_2=1{,}25\ \text{с} \] Найти: \(x(t_1)\), \(x(t_2)\); построить график \(x(t)\).
Решение
Уравнение гармонического колебания: \[ x=A\cos(\omega t) \] Сравниваем с заданным: \[ A=0{,}02\ \text{м},\qquad \omega=\pi\ \text{рад/с}. \] Период: \[ T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\pi}=2\ \text{с}. \]
1) При \(t_1=0{,}25\) с: \[ x_1=0{,}02\cos(\pi\cdot0{,}25) =0{,}02\cos\frac{\pi}{4} =0{,}02\cdot\frac{\sqrt2}{2} \approx0{,}0141\ \text{м}. \]
2) При \(t_2=1{,}25\) с: \[ x_2=0{,}02\cos(\pi\cdot1{,}25) =0{,}02\cos\frac{5\pi}{4} =0{,}02\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) \approx-0{,}0141\ \text{м}. \]
График \(x(t)\)
Это косинусоида с амплитудой \(0{,}02\) м и периодом \(2\) с. Точки для построения:
| \(t\), с | \(0\) | \(0{,}25\) | \(0{,}5\) | \(0{,}75\) | \(1\) | \(1{,}25\) | \(1{,}5\) | \(1{,}75\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\), м | \(0{,}020\) | \(0{,}0141\) | \(0\) | \(-0{,}0141\) | \(-0{,}020\) | \(-0{,}0141\) | \(0\) | \(0{,}0141\) | \(0{,}020\) |
Пояснение по графику:
При \(t=0{,}25\) с график находится выше оси \(t\), значит \(x_1>0\). При \(t=1{,}25\) с график находится ниже оси \(t\), значит \(x_2<0\). Эти моменты отличаются на \(1\) с, то есть на половину периода, поэтому смещения равны по модулю и противоположны по знаку.
Ответ: \[ x_1\approx0{,}0141\ \text{м},\qquad x_2\approx-0{,}0141\ \text{м}. \] Модуль смещения в оба момента: \[ |x_1|=|x_2|\approx0{,}0141\ \text{м}. \]
Амплитуда колебаний 10 см, а частота 0,5 Гц. Написать уравнение х=x(г) и построить его график. Найти фазу и смещение через 1,5 с. Определить, через сколько времени смещение будет 7,1 см.
Амплитуда колебаний 10 см, а частота 0,5 Гц. Написать уравнение х=x(г) и построить его график. Найти фазу и смещение через 1,5 с. Определить, через сколько времени смещение будет 7,1 см.
