Выясните, является ли функция четной или нечетной 1) f(x)=2x³−x⁵ 2) f(x)=x² cos x

Краткий ответ:

1. \(f(x)=2x^3-x^5\) — нечётная;
2. \(f(x)=x^2\cos x\) — чётная.

Как проверять. Область определения у обеих функций — \(\mathbb{R}\), она симметрична относительно нуля. Сравниваем \(f(-x)\) с \(f(x)\):

• если \(f(-x)=f(x)\), функция чётная;
• если \(f(-x)=-f(x)\), функция нечётная.

1)
\[ f(-x)=2(-x)^3-(-x)^5=-2x^3+x^5=-(2x^3-x^5)=-f(x) \] Значит, функция нечётная.

2)
\[ f(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cos x=f(x) \] Так как \((-x)^2=x^2\), а \(\cos(-x)=\cos x\), функция чётная.

Проверка: в первом номере все степени нечётные, поэтому знак меняется; во втором \(x^2\) и \(\cos x\) — чётные функции.