Функция является четной или нечетной? 1) f(x) = 2x³ − x⁵ 2) f(x) = x² cos x

Ответ:

1. \(f(x)=2x^3-x^5\) — нечётная;
2. \(f(x)=x^2\cos x\) — чётная.

Как устроена проверка на чётность

1. Убеждаемся, что область определения симметрична относительно нуля (у обеих функций это \(\mathbb R\) — подходит).
2. Считаем \(f(-x)\) и сравниваем с \(f(x)\):

• \(f(-x)=f(x)\) при всех \(x\) ⇒ функция чётная;
• \(f(-x)=-f(x)\) при всех \(x\) ⇒ функция нечётная;
• не выполнено ни то, ни другое ⇒ функция общего вида.

Правила знака, которые тут работают: \((-x)^{2k}=x^{2k}\), \((-x)^{2k+1}=-x^{2k+1}\), \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\).

1) Подставляем \(-x\) вместо \(x\): \[ f(-x)=2(-x)^3-(-x)^5=-2x^3+x^5=-(2x^3-x^5)=-f(x) \] Знак поменялся целиком, значит функция нечётная. Короткий довод: разность нечётных функций \(2x^3\) и \(x^5\) сама нечётна.

2) \[ f(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cos x=f(x) \] Квадрат «съедает» минус, косинус тоже чётный, поэтому значение не изменилось — функция чётная. Короткий довод: чётная \(\cdot\) чётная = чётная.

Проверка числом: для первой \(f(2)=16-32=-16\), а \(f(-2)=-16+32=16=-f(2)\) — сходится. Для второй \(f(1)=\cos 1\) и \(f(-1)=\cos 1\) — равны.

Про образец на фото: у \(f(x)=x^5\sin\frac{x}{2}\) в записи потерян знак синуса. На самом деле \[ f(-x)=(-x)^5\sin\left(-\frac{x}{2}\right)=-x^5\cdot\left(-\sin\frac{x}{2}\right)=x^5\sin\frac{x}{2}=f(x), \] то есть эта функция чётная (нечётная \(\cdot\) нечётная = чётная), а не нечётная.