Для f(x, y) = xy оцените изменение полным дифференциалом при x = 10, y = 4, dx = 0,2, dy = -0,1.

Краткий ответ: a. \(-0,2\).

Полный дифференциал функции двух переменных — это линейная часть её приращения:

\[ df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy. \]

Для \(f(x, y) = xy\):

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x, \]

поэтому

\[ df = y\,dx + x\,dy. \]

Подставляем \(x=10\), \(y=4\), \(dx=0,2\), \(dy=-0,1\):

\[ df = 4\cdot 0,2 + 10\cdot(-0,1) = 0,8 - 1 = -0,2. \]

Проверка. Точное приращение:

\[ \Delta f = f(10,2;\,3,9) - f(10;\,4) = 10,2\cdot3,9 - 40 = 39,78 - 40 = -0,22. \]

Полный дифференциал даёт \(-0,2\), что близко к \(-0,22\): расхождение связано с тем, что дифференциал — приближение первого порядка.

Как действовать в похожем задании: найди частные производные по каждой переменной, умножь их на соответствующие приращения \(dx\) и \(dy\) и сложи. Внимательно следи за знаком \(dy\).