312. Найдите, используя алгоритм [обрезано] НОД (90; 120), НОК (90; 120); НОД (16; 5), НОК (16; 5); НОД (12; 36), НОК (12; 36); НОД (12; 48), НОК (12; 48).

Кратко

• \(90\) и \(120\): НОД \(=30\), НОК \(=360\);
• \(16\) и \(5\): НОД \(=1\), НОК \(=80\);
• \(12\) и \(36\): НОД \(=12\), НОК \(=36\);
• \(12\) и \(48\): НОД \(=12\), НОК \(=48\).

Как это получается

НОД ищут алгоритмом Евклида: большее число делят на меньшее с остатком, потом меньшее — на остаток, пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток и есть НОД.

\[ 120=90\cdot1+30,\qquad 90=30\cdot3+0, \] поэтому \(\text{НОД}(90;120)=30\).

\[ 16=5\cdot3+1,\qquad 5=1\cdot5+0, \] поэтому \(\text{НОД}(16;5)=1\): числа взаимно простые.

Для \(12\) и \(36\), \(12\) и \(48\) деление идёт без остатка: \[ 36=12\cdot3+0,\qquad 48=12\cdot4+0. \] Значит, в обеих парах НОД \(=12\).

НОК удобно находить через НОД: произведение чисел делим на их НОД. \[ \frac{90\cdot120}{30}=360,\quad \frac{16\cdot5}{1}=80,\quad \frac{12\cdot36}{12}=36,\quad \frac{12\cdot48}{12}=48. \]

Проверка: произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел. Например, \(30\cdot360=10800=90\cdot120\). Остальные пары проверяются так же.

Полезное правило: если одно число делится на другое, НОД равен меньшему числу, а НОК — большему.