Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_{1}=2,\quad x_{2}=3\).
Как решать
Уравнение вида \(ax^{2}+bx+c=0\) можно решить через дискриминант:
\[ D=b^{2}-4ac \]
Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\):
\[ D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
Так как \(D>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]
Быстрый способ по теореме Виета
Для приведённого уравнения \(x^{2}+px+q=0\):
\[ x_{1}+x_{2}=-p,\qquad x_{1}x_{2}=q \]
У нас \(p=-5,\ q=6\), значит:
\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}x_{2}=6 \]
Подходят числа \(2\) и \(3\).
Проверка
\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]
\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня верны. Главный принцип: для квадратного уравнения находим дискриминант — он показывает, сколько корней; по теореме Виета можно быстро подобрать корни, если уравнение приведённое.
Обсуждение
6 сообщенийА что делать, если дискриминант отрицательный?
Коротко: если \(D<0\), то в действительных числах корней нет — уравнение не имеет решения. А если вы уже проходили комплексные числа, то корней два, но они комплексные.
Почему так
Корни находятся по формуле
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
При \(D<0\) из дискриминанта нужно извлечь квадратный корень, а среди действительных чисел \(\sqrt{D}\) не существует. Поэтому в действительных числах ответ: «корней нет».
Что это значит на графике
Парабола \(y=ax^{2}+bx+c\) при \(D<0\) не пересекает ось \(Ox\): она целиком лежит выше оси (если \(a>0\)) или целиком ниже (если \(a<0\)). Вершина находится в точке \(x=-\frac{b}{2a}\).
Пример
\[ x^{2}+2x+5=0 \]
\[ D=2^{2}-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16 \]
\(D<0\), значит действительных корней нет. Проверим через выделение полного квадрата:
\[ x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4 \]
Квадрат \((x+1)^{2}\ge 0\), поэтому вся сумма не меньше \(4\) и нулю не равна — подтверждение, что корней нет.
Если нужны комплексные корни
Тогда \(\sqrt{-16}=4i\), где \(i^{2}=-1\):
\[ x_{1,2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i \]
Полезно помнить три случая
- \(D>0\) — два разных действительных корня;
- \(D=0\) — один корень (два совпадающих): \(x=-\frac{b}{2a}\);
- \(D<0\) — действительных корней нет.
Главный принцип: знак дискриминанта говорит не о «правильности» решения, а о том, сколько раз парабола пересекает ось \(Ox\).
2×103+8=
2×103+8=
2+2=
Первый пример: \(2\cdot 103+8=214\)
Порядок действий: сначала умножение, потом сложение.
\[ 2\cdot 103=206,\qquad 206+8=214 \]
Если в условии было не \(103\), а \(10^{3}\) (десять в кубе), то получится другое:
\[ 2\cdot 10^{3}+8=2000+8=2008 \]
Разница большая, поэтому стоит уточнить запись: \(103\) или \(10^{3}\)?
Второй пример: \(2+2=4\), а не \(2\).
Сложение — это объединение: две единицы и ещё две единицы вместе дают четыре единицы. Проверить можно на пальцах или на предметах: 2 яблока и ещё 2 яблока — всего 4 яблока. Если получилось \(2\), скорее всего, при счёте потерялась одна пара — либо в записи опечатка.
