сделай 541 и 544 и Обьясни как

Question

Расшифровка фото нейросетью:
541. Подобны ли треугольники ABC и DEF, если ∠A = 106°, ∠B = 34°, ∠E = 106°, ∠F = 40°?

542. Площади двух подобных треугольников равны 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

Answer

Кратко: в № 541 треугольники подобны: $\triangle ABC\sim\triangle EDF$; в № 544 искомая сторона равна $4{,}5$ м.

541

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдём третьи углы:

$$
\angle C=180^\circ-106^\circ-34^\circ=40^\circ,
$$

$$
\angle D=180^\circ-106^\circ-40^\circ=34^\circ.
$$

Теперь видно, что

$$
\angle A=\angle E=106^\circ,\qquad
\angle B=\angle D=34^\circ,\qquad
\angle C=\angle F=40^\circ.
$$

Двух пар равных углов уже достаточно для подобия: тогда и третьи углы обязательно равны. Значит, треугольники подобны, но соответствие вершин такое:

$$
\triangle ABC\sim\triangle EDF.
$$

То есть $A\leftrightarrow E,\ B\leftrightarrow D,\ C\leftrightarrow F$. Запись $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ была бы неточной: она означала бы другое соответствие вершин.

544

У подобных фигур длины сторон изменяются в $k$ раз, а площади — в $k^2$ раз. Поэтому

$$
\frac{S_1}{S_2}=k^2.
$$

Подставляем площади:

$$
k^2=\frac{75}{300}=\frac14,
$$

$$
k=\frac12.
$$

Пусть $x$ — искомая сторона первого треугольника, а соответствующая ей сторона второго равна $9$ м. Тогда

$$
\frac{x}{9}=\frac12,
$$

$$
x=4{,}5\text{ м}.
$$

Проверка: стороны относятся как $4{,}5:9=1:2$, а площади — как $75:300=1:4=(1:2)^2$. Всё сходится.

Принцип: у подобных треугольников углы равны, а сходственные стороны пропорциональны. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.