Зачет №4 по теме «Применение законов динамики.» 1. Определение свободного падения, ускорение свободного падения, силы тяжести (численное значение, единица, направление).

Кратко. Свободное падение — движение только под действием силы тяжести с ускорением \(g \approx 9{,}8\) м/с², направленным вертикально вниз. Закон всемирного тяготения: \(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\), где \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\) Н·м²/кг². При движении по окружности \(a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{r}=\omega^2r\). Вес тела в лифте: \(P=m(g+a)\) при ускорении вверх и \(P=m(g-a)\) при ускорении вниз; при \(a=g\) наступает невесомость, при ускорении вверх — перегрузка.

Разбор по пунктам

1. Свободное падение, \(g\), сила тяжести.
   Свободное падение — движение тела, когда на него действует только сила тяжести (сопротивлением среды пренебрегаем). Ускорение свободного падения \(g\) — ускорение такого движения:
   \[ g \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2 \approx 10\ \text{м/с}^2, \] направлено вертикально вниз, к центру Земли. Сила тяжести
   \[ F_{\text{т}}=mg, \] её единица — ньютон (Н), направление — вертикально вниз. Численного значения силы тяжести без массы нет: оно равно \(mg\).

2. Формулы при свободном падении вниз.
   Если ось \(x\) направить вниз, то \(g_x=g\):
   \[ v_x=v_{0x}+gt,\qquad h=v_{0x}t+\frac{gt^2}{2},\qquad v_x^2-v_{0x}^2=2gh. \] Если тело падает без начальной скорости:
   \[ v=gt,\qquad h=\frac{gt^2}{2},\qquad v=\sqrt{2gh},\qquad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}. \] Здесь \(v_x\) — проекция скорости, \(h\) — высота падения. Если ось направить вверх, перед \(g\) появится минус.

3. Тело брошено вверх.
   Ось удобно направить вверх, тогда \(g_x=-g\):
   \[ v_x=v_0-gt,\qquad h=v_0t-\frac{gt^2}{2},\qquad v_x^2-v_0^2=-2gh. \] В верхней точке \(v=0\):
   \[ t_{\text{под}}=\frac{v_0}{g},\qquad H=\frac{v_0^2}{2g}. \] После отрыва от руки тело движется только под действием тяжести, поэтому его вес \(P=0\) — это невесомость (если пренебречь сопротивлением воздуха).
   Рисунок: тело на вертикали, вектор \(\vec v_0\) вверх, вектор \(\vec g\) вниз; график \(v(t)\) — прямая с отрицательным наклоном, в верхней точке \(v=0\).

4. Явление всемирного тяготения.
   Все тела притягиваются друг к другу. Гравитационные силы — силы этого притяжения; они направлены вдоль линии, соединяющей тела, и убывают с расстоянием. Примеры: притяжение Земли к Солнцу, Луны к Земле.

5. Закон всемирного тяготения.
   \[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}. \] Сила притяжения двух материальных точек прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
   Рисунок: два тела \(m_1\) и \(m_2\) на расстоянии \(r\); силы \(\vec F_{12}\) и \(\vec F_{21}\) равны по модулю и направлены навстречу друг другу.

6. Формула и гравитационная постоянная.
   Формула та же: \(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\).
   \[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2. \]

7. Физический смысл \(G\).
   Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения двух тел массами по \(1\) кг, находящихся на расстоянии \(1\) м.
   Рисунок: две гири \(m_1=m_2=1\) кг на расстоянии \(r=1\) м; сила \(F=G\). Эта сила очень мала, поэтому в обычных условиях притяжение между небольшими телами незаметно.

8. Движение по окружности.
   При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, а направление меняется, поэтому есть центростремительное ускорение, направленное к центру:
   \[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{r}=\omega^2r=\frac{4\pi^2r}{T^2},\qquad v=\omega r=\frac{2\pi r}{T}. \] Рисунок: окружность радиуса \(r\), тело в точке \(A\), вектор \(\vec v\) по касательной, вектор \(\vec a_{\text{ц}}\) к центру \(O\).

9. Ускорение свободного падения на высоте.
   \[ g=G\frac{M}{(R+h)^2}, \] где \(M\) — масса Земли, \(R\) — её радиус, \(h\) — высота над поверхностью.
   При \(h=0\):
   \[ g_0=G\frac{M}{R^2}. \] При \(h\ne0\):
   \[ g=G\frac{M}{(R+h)^2}. \]

10. От чего и как зависит \(g\).
    \(g\) зависит от:

1. высоты над поверхностью — с ростом \(h\) уменьшается;
2. широты местности — на полюсах \(g\) больше, на экваторе меньше (влияют вращение Земли и её сжатие);
3. массы и радиуса планеты.
   На Земле \(g\approx9{,}8\) м/с², на полюсе примерно \(9{,}83\) м/с², на экваторе примерно \(9{,}78\) м/с². Рукописная подсказка «Высоты и широты» верна.

11. Невесомость и перегрузка.
    Невесомость — состояние, когда вес тела \(P=0\): тело и опора движутся с одинаковым ускорением \(g\) (свободное падение). Перегрузка — когда \(P>mg\).
    Если лифт ускоряется вверх:
    \[ N-mg=ma,\qquad P=N=m(g+a),\qquad n=\frac{P}{mg}=1+\frac{a}{g}. \] Если ускорение направлено вниз:
    \[ mg-N=ma,\qquad P=N=m(g-a),\qquad n=1-\frac{a}{g}. \] При \(a=g\) получаем \(P=0\) — невесомость.
    Рисунок: человек в лифте; сила \(m\vec g\) вниз, сила \(\vec N\) вверх; при перегрузке \(N>mg\), при невесомости \(N=0\).

Проверка и общий принцип. Я проверил размерности: \(GM/R^2\) даёт м/с², \(m(g+a)\) — ньютоны, \(a_{\text{ц}}\) — м/с². Главный принцип решения похожих заданий: сделать рисунок, показать все силы, выбрать ось, записать второй закон Ньютона \(\vec F_{\text{рез}}=m\vec a\) в проекциях; для веса использовать третий закон Ньютона. Тогда задачи на падение, тяготение, окружность и лифт решаются по одной схеме.