7.21. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через прямую BA1 параллельно прямой CB1.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
7.21. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $BA_1$ параллельно прямой $CB_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит диагональ $AC_1$ параллелепипеда в отношении $1:2$, считая от вершины $A$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $\alpha$, если он прямой, его основание $ABCD$ — ромб с диагоналями $AC = 10$ и $BD = 8$, а боковое ребро параллелепипеда равно $12$.

Answer

Краткий ответ:
а) $AP:PC_1=1:2$, где $P=\alpha\cap AC_1$;
б) площадь сечения равна $52$.

Решение

Введём аффинные координаты с началом в $A$ и базисом
$$
\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{AA_1}.
$$
Тогда вершины имеют координаты
$$
B(1,0,0),\quad D(0,1,0),\quad A_1(0,0,1),\quad C_1(1,1,1).
$$
Вектор $\overrightarrow{CB_1}=(0,-1,1)$.

Плоскость $\alpha$ задаётся уравнением
$$
x+y+z=1.
$$
Действительно, $B$ и $A_1$ ему удовлетворяют, а при движении вдоль $\overrightarrow{CB_1}$ сумма $x+y+z$ не меняется. Значит, эта плоскость проходит через $BA_1$ и параллельна $CB_1$.

а) Точка на диагонали $AC_1$ имеет вид
$$
X(t)=(t,t,t).
$$
Её пересечение с $\alpha$:
$$
3t=1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac13.
$$
Значит,
$$
AP=\frac13 AC_1,\qquad PC_1=\frac23 AC_1,
$$
то есть
$$
AP:PC_1=1:2.
$$

б) Плоскость $x+y+z=1$ внутри параллелепипеда даёт сечение — треугольник
$$
BDA_1.
$$
Осталось найти его площадь.

Так как параллелепипед прямой, $AA_1\perp ABCD$. Пусть $O=AC\cap BD$. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам, поэтому
$$
AO=\frac{AC}{2}=5.
$$
Отрезок $A_1O$ перпендикулярен $BD$, значит, это высота треугольника $BDA_1$. Тогда
$$
A_1O=\sqrt{AA_1^2+AO^2}
=\sqrt{12^2+5^2}
=\sqrt{169}=13.
$$
Следовательно,
$$
S_{BDA_1}=\frac12\cdot BD\cdot A_1O
=\frac12\cdot 8\cdot 13=52.
$$

Ответ: а) $AP:PC_1=1:2$; б) $52$.