реши 7 задачу
Сверь числа и знаки с фото.
- В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) \(AB = 1\) см, \(AD = 2\) см, \(AA_1 = 1\) см. Найдите угол между прямыми \(A_1F\) и \(D_1K\), где точки \(F\) и \(K\) — середины ребер \(B_1C_1\) и \(AD\) соответственно.
Ответ: \(60^\circ\). Угол между прямыми берут острым, поэтому получаем \(60^\circ\), а не \(120^\circ\).
Как решать
Введём прямоугольную систему координат с началом в \(A\), направив оси вдоль \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\). Тогда \[ B(1,0,0),\quad D(0,2,0),\quad A_1(0,0,1), \] \[ B_1(1,0,1),\quad C_1(1,2,1),\quad D_1(0,2,1). \]
Находим середины: \[ F\left(\frac{1+1}{2};\frac{0+2}{2};\frac{1+1}{2}\right)=(1,1,1), \] \[ K\left(\frac{0+0}{2};\frac{0+2}{2};\frac{0+0}{2}\right)=(0,1,0). \]
Векторы, задающие направления прямых: \[ \overrightarrow{A_1F}=(1,1,0), \qquad \overrightarrow{KD_1}=(0,1,1). \]
Угол между прямыми ищем по формуле \[ \cos\varphi= \frac{\left|\overrightarrow{A_1F}\cdot\overrightarrow{KD_1}\right|} {\left|\overrightarrow{A_1F}\right|\left|\overrightarrow{KD_1}\right|}. \] Скалярное произведение: \[ 1\cdot0+1\cdot1+0\cdot1=1. \] Длины обоих векторов: \[ \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2. \] Значит, \[ \cos\varphi=\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12, \] откуда \[ \varphi=60^\circ. \]
Ключевая идея: для угла между прямыми можно взять любые направляющие векторы этих прямых и применить формулу косинуса угла между векторами; модуль нужен потому, что прямая не имеет направления.
Обсуждение
4 сообщенияреши по другому, не надо через векторы!!!
Ответ: \(60^\circ\).
Идея чисто геометрического решения: заменить прямую \(A_1F\) параллельной ей прямой, лежащей в плоскости основания, — тогда обе прямые окажутся в одной «удобной» фигуре.
Шаг 1. Параллельный перенос \(A_1F\) в основание
Верхняя грань \(A_1B_1C_1D_1\) получается из \(ABCD\) переносом на вектор \(\overrightarrow{A_1A}\). При этом переносе \[ A_1\to A,\quad B_1\to B,\quad C_1\to C, \] а точка \(F\) — середина \(B_1C_1\) — переходит в \(N\), середину \(BC\). Значит, \[ A_1F\parallel AN. \]
Шаг 2. \(AN\parallel KC\)
В основании \(ABCD\): \(AK=\tfrac12 AD=1\) и \(NC=\tfrac12 BC=1\), причём \(AK\parallel NC\) (это стороны прямоугольника). Значит, \(AKCN\) — параллелограмм, откуда \[ AN\parallel KC. \]
Шаг 3. Угол между прямыми
Из шагов 1–2: \(A_1F\parallel KC\), поэтому \[ \angle(A_1F;\,KD_1)=\angle(KC;\,KD_1)=\angle CKD_1. \]
Шаг 4. Треугольник \(KCD_1\) — равносторонний
Считаем его стороны (используем только теорему Пифагора в прямоугольных гранях):
- в основании \(KD\perp DC\), \(KD=1\), \(DC=AB=1\), поэтому \[ KC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2; \]
- в грани \(ADD_1A_1\): \(KD=1\), \(DD_1=AA_1=1\), угол \(D\) прямой, поэтому \[ KD_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2; \]
- в грани \(DCC_1D_1\): \(DC=1\), \(DD_1=1\), угол \(D\) прямой, поэтому \[ CD_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2. \]
Итак, \(KC=KD_1=CD_1=\sqrt2\), треугольник \(KCD_1\) равносторонний, значит все его углы по \(60^\circ\). В частности, \[ \angle CKD_1=60^\circ. \]
Проверка: \(60^\circ<90^\circ\), поэтому это и есть острый угол между прямыми — ответ \(60^\circ\).
не нужно параллельный перенос вектором реши уже нормально!!!!
Хорошо, вот полностью геометрическое решение: без векторов и без всяких переносов — только параллелограммы и теорема Пифагора.
Условие (по рисунку): \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед, \(AB=1\), \(AD=2\), \(AA_1=1\); \(F\) — середина \(B_1C_1\), \(K\) — середина \(AD\). Найти угол между \(A_1F\) и \(KD_1\).
Шаг 1. «Переносим» \(A_1F\) в основание
Пусть \(N\) — середина \(BC\). Отрезок \(FN\) соединяет середины противоположных сторон \(B_1C_1\) и \(BC\) прямоугольника \(BCC_1B_1\), поэтому \[ FN\parallel BB_1,\qquad FN=BB_1=AA_1=1. \] Значит, в четырёхугольнике \(AA_1FN\) сторона \(AA_1\) параллельна \(FN\) и равна ей — это параллелограмм. Следовательно, \[ A_1F\parallel AN. \]
Шаг 2. Дальше — в основании \(ABCD\)
Там \[ AK=\frac{AD}{2}=1,\qquad NC=\frac{BC}{2}=1, \] и \(AK\parallel NC\) (это стороны прямоугольника). Значит, \(AKCN\) — параллелограмм, откуда \[ AN\parallel KC. \]
Шаг 3. Угол
Из шагов 1 и 2: \(A_1F\parallel KC\). Поэтому искомый угол равен углу между \(KC\) и \(KD_1\), то есть углу \(CKD_1\) треугольника \(KCD_1\).
Шаг 4. Треугольник \(KCD_1\) равносторонний
Все три стороны считаем по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках с катетами \(1\) и \(1\):
- \(KD\perp CD\), \(KD=1\), \(CD=1\), поэтому \[ KC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2; \]
- в грани \(ADD_1A_1\) угол \(D\) прямой, \(KD=1\), \(DD_1=1\), поэтому \[ KD_1=\sqrt2; \]
- в грани \(DCC_1D_1\) угол \(D\) прямой, \(CD=1\), \(DD_1=1\), поэтому \[ CD_1=\sqrt2. \]
Итак, \(KC=KD_1=CD_1=\sqrt2\) — треугольник равносторонний, значит \[ \angle CKD_1=60^\circ. \]
Угол получился меньше \(90^\circ\), то есть это и есть угол между прямыми.
Ответ: \(60^\circ\).
