1. Найдите значение выражения: 1) 0,5√1600 − 1/3√36; 2) √(0,25 · 81); 3) √(6² · 2⁶); 4) √20 · √5 − √(63/7)

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. Найдите значение выражения:

1. $0,5\sqrt{1600}-\frac{1}{3}\sqrt{36}$;

2. $\sqrt{0,25\cdot 81}$;

3. $\sqrt{6^2\cdot 2^6}$;

4. $\sqrt{20}\cdot\sqrt{5}-\sqrt{\frac{63}{7}}$.

2. Решите уравнение:

1. $x^2=2$;

2. $x^2=-16$;

3. $\sqrt{x}=4$;

4. $\sqrt{x}=-9$.

3. Упростите выражение:

1. $7\sqrt{2}-3\sqrt{8}+4\sqrt{18}$;

2. $(\sqrt{90}-\sqrt{40})\cdot\sqrt{10}$;

3. $(3\sqrt{5}-2)^2$;

4. $(2\sqrt{3}+3\sqrt{5})(2\sqrt{3}-3\sqrt{5})$.

4. Запишите в стандартном виде число:

1. $126000$;

2. $0,0035$.

5. Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение:

1. $a^7\cdot a^3$;

2. $a^{10}:a^{12}$;

3. $(a^9)^2\cdot a^{10}$.

6. Упростите выражение $0,8a^5b^{-14}\cdot1,2a^{-8}b^{10}$.

7. Найдите значение выражения:

1. $2^{-3}+6^{-1}$;

2. $\frac{7^{-8}\cdot7^{-6}}{7^{-14}}$.

Answer

Краткие ответы:

1.
1. $18$; 2) $4{,}5$; 3) $48$; 4) $7$.

2.
1. $x=\pm\sqrt{2}$; 2) действительных корней нет; 3) $x=16$; 4) корней нет.

3.
1. $13\sqrt{2}$; 2) $10$; 3) $49-12\sqrt{5}$; 4) $-33$.

4.
1. $1{,}26\cdot10^{5}$; 2) $3{,}5\cdot10^{-3}$.

5.
1. $a^{10}$; 2) $a^{-2}=\frac{1}{a^{2}}$; 3) $a^{28}$.

6. $0{,}96a^{-3}b^{-4}=\frac{0{,}96}{a^{3}b^{4}}$.

7.
1. $\frac{7}{24}$; 2) $1$.

Как это получается:

1. Используем $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ и $\sqrt{a^2}=a$ для неотрицательных чисел.

$0{,}5\sqrt{1600}-\frac13\sqrt{36}=0{,}5\cdot40-\frac13\cdot6=20-2=18$.

$\sqrt{0{,}25\cdot81}=\sqrt{0{,}25}\cdot\sqrt{81}=0{,}5\cdot9=4{,}5$.

$\sqrt{6^2\cdot2^6}=\sqrt{6^2}\cdot\sqrt{(2^3)^2}=6\cdot8=48$.

$\sqrt{20}\cdot\sqrt5=\sqrt{100}=10$, а $\sqrt{\frac{63}{7}}=\sqrt9=3$, поэтому $10-3=7$.

2. Уравнение $x^2=a$ имеет два корня при $a>0$, один при $a=0$ и не имеет действительных корней при $a<0$.

$x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt2$.

$x^2=-16$ — квадрат не может быть отрицательным, корней нет.

$\sqrt x=4\Rightarrow x=4^2=16$. Проверка: $\sqrt{16}=4$.

$\sqrt x=-9$ невозможно: арифметический квадратный корень неотрицателен.

3. Сначала выносим из-под корня полные квадраты.

$7\sqrt2-3\sqrt8+4\sqrt{18}=7\sqrt2-3\cdot2\sqrt2+4\cdot3\sqrt2=13\sqrt2$.

$(\sqrt{90}-\sqrt{40})\sqrt{10}=\sqrt{900}-\sqrt{400}=30-20=10$.

$(3\sqrt5-2)^2=45-12\sqrt5+4=49-12\sqrt5$.

Разность квадратов: $(2\sqrt3+3\sqrt5)(2\sqrt3-3\sqrt5)=12-45=-33$.

4. Стандартный вид числа: $a\cdot10^n$, где $1\le |a|<10$.

$126000=1{,}26\cdot10^5$.

$0{,}0035=3{,}5\cdot10^{-3}$.

5. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются, а степень степени перемножает показатели.

$a^7\cdot a^3=a^{10}$.

$a^{10}:a^{12}=a^{-2}=\frac1{a^2}$.

$(a^9)^2\cdot a^{10}=a^{18}\cdot a^{10}=a^{28}$.

6. В №6 по фото: $0{,}8a^5b^{-14}\cdot1{,}2a^{-8}b^{10}$.
$$
0{,}8\cdot1{,}2=0{,}96,\quad a^{5-8}=a^{-3},\quad b^{-14+10}=b^{-4}.
$$
Поэтому ответ: $0{,}96a^{-3}b^{-4}$, или $\frac{0{,}96}{a^3b^4}$.

7. Отрицательная степень: $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

$2^{-3}+6^{-1}=\frac18+\frac16=\frac{3+4}{24}=\frac7{24}$.

$\frac{7^{-8}\cdot7^{-6}}{7^{-14}}=\frac{7^{-14}}{7^{-14}}=1$.