2.164 Найдите сумму:

На фото обведено задание 2.164. Решаю его: нужно найти сумму дробей с разными знаменателями.

Краткие ответы: а) \(\frac{19}{24}\); б) \(\frac{69}{56}=1\frac{13}{56}\); в) \(\frac{41}{50}\); г) \(\frac{113}{210}\); д) \(\frac{101}{162}\); е) \(\frac{16}{33}\); ж) \(\frac{67}{168}\); з) \(\frac{86}{147}\).

Главная идея. Дробь \(\frac{a}{b}\) означает: целое разделили на \(b\) равных долей и взяли \(a\) таких долей. Складывать можно только доли одинакового размера. Поэтому дроби сначала приводят к общему знаменателю — удобнее всего к наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей.

Алгоритм:

1. Найди НОК знаменателей — это общий знаменатель.
2. Для каждой дроби найди дополнительный множитель: НОК раздели на её знаменатель.
3. Умножь числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
4. Сложи числители, а общий знаменатель запиши один раз.
5. Сократи дробь; если числитель больше знаменателя, выдели целую часть.

Подробно — пункт а): \[ \frac{1}{6}+\frac{5}{8},\qquad \text{НОК}(6,8)=24. \] \[ \frac{1}{6}=\frac{1\cdot4}{6\cdot4}=\frac{4}{24},\qquad \frac{5}{8}=\frac{5\cdot3}{8\cdot3}=\frac{15}{24}. \] \[ \frac{4}{24}+\frac{15}{24}=\frac{4+15}{24}=\frac{19}{24}. \] Числа 19 и 24 общих делителей не имеют, поэтому дробь не сокращается.

Подробно — пункт г), где знаменатели крупнее: \[ 70=2\cdot5\cdot7,\qquad 105=3\cdot5\cdot7. \] В НОК каждый простой множитель берём в наибольшей степени: \[ \text{НОК}(70,105)=2\cdot3\cdot5\cdot7=210. \] \[ \frac{27}{70}=\frac{27\cdot3}{70\cdot3}=\frac{81}{210},\qquad \frac{16}{105}=\frac{16\cdot2}{105\cdot2}=\frac{32}{210}. \] \[ \frac{81}{210}+\frac{32}{210}=\frac{113}{210}. \] 113 — простое число, общих множителей с 210 у него нет.

Остальные пункты: б) \(\text{НОК}(8,14)=56\): \[ \frac{7}{8}=\frac{49}{56},\quad \frac{5}{14}=\frac{20}{56};\qquad \frac{49+20}{56}=\frac{69}{56}=1\frac{13}{56}. \] в) \(\text{НОК}(10,25)=50\): \[ \frac{7}{10}=\frac{35}{50},\quad \frac{3}{25}=\frac{6}{50};\qquad \frac{35+6}{50}=\frac{41}{50}. \] д) \(18=2\cdot3^2,\ 81=3^4\), поэтому \(\text{НОК}=2\cdot3^4=162\): \[ \frac{11}{18}=\frac{99}{162},\quad \frac{1}{81}=\frac{2}{162};\qquad \frac{99+2}{162}=\frac{101}{162}. \] е) \(\text{НОК}(12,44)=132\): \[ \frac{5}{12}=\frac{55}{132},\quad \frac{3}{44}=\frac{9}{132};\qquad \frac{55+9}{132}=\frac{64}{132}=\frac{16}{33}. \] Здесь важно не забыть сократить на 4. ж) \(\text{НОК}(56,84)=168\): \[ \frac{15}{56}=\frac{45}{168},\quad \frac{11}{84}=\frac{22}{168};\qquad \frac{45+22}{168}=\frac{67}{168}. \] з) \(\text{НОК}(21,49)=147\): \[ \frac{11}{21}=\frac{77}{147},\quad \frac{3}{49}=\frac{9}{147};\qquad \frac{77+9}{147}=\frac{86}{147}. \]

Проверка. Я проверил результат обратным вычитанием: из суммы вычитаем одно слагаемое — должно получиться другое. Для а): \[ \frac{19}{24}-\frac{5}{8}=\frac{19}{24}-\frac{15}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}. \] Для е): \[ \frac{16}{33}-\frac{3}{44}=\frac{64}{132}-\frac{9}{132}=\frac{55}{132}=\frac{5}{12}. \] Оба раза вернулись к первому слагаемому — значит, суммы найдены верно.

Частая ошибка: складывать отдельно числители и отдельно знаменатели: \[ \frac{1}{6}+\frac{5}{8}\ne\frac{1+5}{6+8}. \] Так нельзя: размеры долей разные, поэтому сначала нужен общий знаменатель.