Упражнения 21( 1,2,3)

Question

Расшифровка фото нейросетью:
УПРАЖНЕНИЕ 21

1. Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. $M_з = 6\cdot10^{24}$ кг.)

2. Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно 1,6 м/с².

3. На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли?

Answer

Краткий ответ

1. $v \approx 6{,}7$ км/с.

2. $R_{\mathrm{Л}} \approx 1{,}7\cdot10^3$ км.

3. Сила уменьшится в 3 раза на высоте $h \approx 4{,}7\cdot10^3$ км над поверхностью Земли.
Это расстояние от центра Земли $r \approx 1{,}1\cdot10^4$ км.

Как это получается

Для спутника на круговой орбите сила тяготения играет роль центростремительной силы:

$$
G\frac{Mm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}.
$$

Масса спутника $m$ сокращается, поэтому скорость не зависит от массы аппарата. Отсюда

$$
v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.
$$

1. Скорость спутника Земли

Радиус орбиты:

$$
r=R_{\mathrm{З}}+h.
$$

Берём $R_{\mathrm{З}}\approx6400$ км $=6{,}4\cdot10^6$ м, $h=2600$ км $=2{,}6\cdot10^6$ м. Тогда

$$
r=9{,}0\cdot10^6\ \text{м}.
$$

$$
v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{9{,}0\cdot10^6}}
\approx6{,}7\cdot10^3\ \text{м/с}.
$$

То есть

$$
\boxed{v\approx6{,}7\ \text{км/с}}.
$$

2. Радиус Луны

Вблизи поверхности Луны высота орбиты мала, поэтому $r\approx R_{\mathrm{Л}}$. Ускорение свободного падения:

$$
g=\frac{v^2}{R_{\mathrm{Л}}}.
$$

Отсюда

$$
R_{\mathrm{Л}}=\frac{v^2}{g}.
$$

Переведём скорость:

$$
1{,}67\ \text{км/с}=1{,}67\cdot10^3\ \text{м/с}.
$$

$$
R_{\mathrm{Л}}=\frac{(1{,}67\cdot10^3)^2}{1{,}6}
\approx1{,}74\cdot10^6\ \text{м}
\approx1{,}7\cdot10^3\ \text{км}.
$$

$$
\boxed{R_{\mathrm{Л}}\approx1{,}7\cdot10^3\ \text{км}}.
$$

3. Где сила тяготения меньше в 3 раза

На поверхности Земли:

$$
F_0=G\frac{mM}{R_{\mathrm{З}}^2}.
$$

На расстоянии $r$ от центра Земли:

$$
F=G\frac{mM}{r^2}.
$$

По условию $F_0=3F$, значит:

$$
\frac{F_0}{F}=\frac{r^2}{R_{\mathrm{З}}^2}=3.
$$

$$
r=R_{\mathrm{З}}\sqrt3.
$$

При $R_{\mathrm{З}}\approx6400$ км:

$$
r\approx6400\cdot1{,}732\approx1{,}1\cdot10^4\ \text{км}.
$$

Высота над поверхностью:

$$
h=r-R_{\mathrm{З}}\approx1{,}1\cdot10^4-6400
\approx4{,}7\cdot10^3\ \text{км}.
$$

$$
\boxed{h\approx4{,}7\cdot10^3\ \text{км над поверхностью Земли}}.
$$

Проверка

Я проверил размерности и подстановки: у первой задачи скорость получилась меньше первой космической скорости у поверхности Земли — так и должно быть, потому что орбита выше. Радиус Луны по расчёту около 1740 км, что близко к известному значению. В третьей задаче при $r=R_{\mathrm{З}}\sqrt3$ отношение сил действительно равно $3$.