190. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
190. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
а) $3^{\frac{1}{2}}$, $5^{\frac{3}{4}}$, $0{,}2^{0{,}5}$, $7^{-0{,}25}$;
б) $x^{\frac{3}{4}}$, $a^{1{,}2}$, $b^{-0{,}8}$, $c^{\frac{2}{3}}$;
в) $5a^{\frac{1}{3}}$, $ax^{\frac{3}{5}}$, $-b^{-1{,}5}$, $(2b)^{\frac{1}{4}}$;
г) $(x-y)^{\frac{2}{3}}$, $x^{\frac{2}{3}}-y^{\frac{2}{3}}$, $3(a+b)^{\frac{3}{4}}$, $4a^{-\frac{2}{3}}+ax^{\frac{2}{3}}$.

191. Представьте арифметический корень в виде степени с дробным показателем:
а) $\sqrt{1{,}3}$; в) $\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$; д) $\sqrt[7]{a^{4}}$; ж) $\sqrt[3]{a^{2}-b^{2}}$;
б) $\sqrt[3]{7^{-1}}$; г) $\sqrt[5]{\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}}$; е) $\dfrac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$; з) $\sqrt[5]{(x-y)^{2}}$.

Answer

На фото два номера — 190 и 191, поэтому разберу оба.

190

а) $3^{1/2}=\sqrt3$, $5^{3/4}=\sqrt[4]{5^3}=\sqrt[4]{125}$, $0{,}2^{0{,}5}=\sqrt{0{,}2}=\frac1{\sqrt5}$, $7^{-0{,}25}=7^{-1/4}=\frac1{\sqrt[4]7}$.

б) $x^{3/4}=\sqrt[4]{x^3}$, $a^{1{,}2}=a^{6/5}=\sqrt[5]{a^6}$, $b^{-0{,}8}=b^{-4/5}=\frac1{\sqrt[5]{b^4}}$, $c^{2/3}=\sqrt[3]{c^2}$.

в) $5a^{1/3}=5\sqrt[3]{a}$, $ax^{3/5}=a\sqrt[5]{x^3}$, $-b^{-1{,}5}=-\frac1{\sqrt{b^3}}$, $(2b)^{1/4}=\sqrt[4]{2b}$.

г) $(x-y)^{2/3}=\sqrt[3]{(x-y)^2}$, $x^{2/3}-y^{2/3}=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}$, $3(a+b)^{3/4}=3\sqrt[4]{(a+b)^3}$, $4a^{-2/3}+ax^{2/3}=\frac4{\sqrt[3]{a^2}}+a\sqrt[3]{x^2}$.

191

а) $\sqrt{1{,}3}=1{,}3^{1/2}$.

б) $\sqrt[3]{7^{-1}}=7^{-1/3}$.

в) $\sqrt[4]{\frac23}=\left(\frac23\right)^{1/4}$.

г) $\sqrt[5]{\left(\frac32\right)^{-2}}=\left(\frac32\right)^{-2/5}=\left(\frac23\right)^{2/5}$.

д) $\sqrt[7]{a^4}=a^{4/7}$.

е) $\frac1{\sqrt[4]{x^3}}=x^{-3/4}$.

ж) $\sqrt[3]{a^2-b^2}=(a^2-b^2)^{1/3}$.

з) $\sqrt[5]{(x-y)^2}=(x-y)^{2/5}$.

Почему так

Главное правило:

$$
a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m},\qquad
a^{-m/n}=\frac1{a^{m/n}}.
$$

То есть знаменатель дроби в показателе становится индексом корня, а числитель — степенью под корнем. Минус в показателе означает «перевернуть дробь».

Например, $5^{3/4}$: знаменатель $4$ даёт корень четвёртой степени, числитель $3$ — степень под корнем, поэтому получается $\sqrt[4]{5^3}$.

В 191 обратный переход: корень записываем степенью, где индекс корня уходит в знаменатель:

$$
\sqrt[n]{A^m}=A^{m/n}.
$$

Например, $\sqrt[3]{7^{-1}}=7^{-1/3}$.

Десятичные показатели удобно сначала перевести в обыкновенные дроби: $1{,}2=\frac65$, $-0{,}8=-\frac45$, $-1{,}5=-\frac32$, $0{,}25=\frac14$.

Проверка

$$
\left(\sqrt[4]{125}\right)^4=125=5^3,
$$

значит $\sqrt[4]{125}$ действительно равно $5^{3/4}$.

А из

$$
\left(7^{-1/3}\right)^3=7^{-1}
$$

видно, что $\sqrt[3]{7^{-1}}=7^{-1/3}$.