Амплитуда колебаний 10 см, а частота 0,5 Гц. Написать уравнение х=x(г) и построить его график. Найти фазу и смещение через 1,5 с. Определить, через сколько времени смещение будет…
Амплитуда колебаний 10 см, а частота 0,5 Гц. Написать уравнение х=x(г) и построить его график. Найти фазу и смещение через 1,5 с. Определить, через сколько времени смещение будет 7,1 см.
В условии не задана начальная фаза. Я беру обычный школьный вариант: при \(t=0\) тело проходит положение равновесия и движется в положительном направлении, то есть \(\varphi_0=0\).
Краткий ответ: \[ x(t)=10\sin(\pi t)\ \text{см} \] или \[ x(t)=0{,}10\sin(\pi t)\ \text{м}. \] При \(t=1{,}5\) с фаза равна \(\frac{3\pi}{2}\) рад, то есть \(270^\circ\), а смещение \(x=-10\) см. Впервые смещение \(7{,}1\) см будет через \(t\approx0{,}25\) с.
Решение по шагам
Частота \(\nu=0{,}5\) Гц, значит: \[ \omega=2\pi\nu=2\pi\cdot0{,}5=\pi\ \text{рад/с}, \] \[ T=\frac{1}{\nu}=2\ \text{с}. \]
Амплитуда: \[ A=10\ \text{см}=0{,}10\ \text{м}. \]
Уравнение гармонического колебания: \[ x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_0). \] При \(\varphi_0=0\): \[ x(t)=10\sin(\pi t)\ \text{см}. \]
График
Это синусоида с амплитудой \(10\) см и периодом \(2\) с. Удобные точки для построения:
| \(t\), с | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\), см | 0 | 7,1 | 10 | 7,1 | 0 | \(-7{,}1\) | \(-10\) | \(-7{,}1\) | 0 |
Соединяем точки плавной кривой: от \(0\) график идёт вверх до \(10\) см, затем вниз через нуль к \(-10\) см и снова к нулю. Далее всё повторяется через \(2\) с.
Фаза и смещение при \(t=1{,}5\) с
\[ \Phi=\omega t=\pi\cdot1{,}5=\frac{3\pi}{2}\ \text{рад}=270^\circ. \]
\[ x=10\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=10\cdot(-1)=-10\ \text{см}. \]
То есть тело находится в крайнем отрицательном положении; расстояние от положения равновесия равно \(10\) см.
Когда смещение будет \(7{,}1\) см
\[ 10\sin(\pi t)=7{,}1, \] \[ \sin(\pi t)=0{,}71\approx\frac{1}{\sqrt2}. \]
Первый раз: \[ \pi t=\frac{\pi}{4}, \] \[ t=\frac14=0{,}25\ \text{с}. \]
Проверка: \[ x(0{,}25)=10\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\approx10\cdot0{,}707\approx7{,}1\ \text{см}. \]
То же положительное смещение repeatится ещё при \(t\approx0{,}75\) с, а дальше через период \(2\) с: \[ t\approx0{,}25+2n\quad\text{и}\quad t\approx0{,}75+2n,\qquad n=0,1,2,\ldots \]
Если нужен только первый момент после начала движения, ответ: \(\boxed{0{,}25\ \text{с}}\).
Важно: если в вашем классе принято записывать колебание через косинус и считать, что при \(t=0\) тело находится в крайнем положении, то уравнение будет \(x=10\cos(\pi t)\). Тогда при \(t=1{,}5\) с смещение равно \(0\), а не \(-10\) см. Время первого достижения \(7{,}1\) см при этом всё равно \(0{,}25\) с.
Обсуждение
4 сообщениядано и решение напиши
Дано: \[ A=10\ \text{см}=0{,}1\ \text{м},\qquad \nu=0{,}5\ \text{Гц}, \] \[ t_1=1{,}5\ \text{с},\qquad x_2=7{,}1\ \text{см}=0{,}071\ \text{м}. \] Принимаем начальную фазу \(\varphi_0=0\): при \(t=0\) тело проходит положение равновесия.
Найти: \(x(t)\), график, фазу и смещение при \(t_1\), время \(t\), когда \(x=x_2\).
Решение:
\[ \omega=2\pi\nu=2\pi\cdot0{,}5=\pi\ \text{рад/с}, \] \[ T=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{0{,}5}=2\ \text{с}. \]
Уравнение колебаний: \[ x(t)=A\sin(\omega t)=10\sin(\pi t)\ \text{см}, \] или в метрах: \[ x(t)=0{,}1\sin(\pi t)\ \text{м}. \]
График
Строим синусоиду с амплитудой \(10\) см и периодом \(2\) с. Удобные точки:
| \(t\), с | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\), см | 0 | 7,1 | 10 | 7,1 | 0 | \(-7{,}1\) | \(-10\) | \(-7{,}1\) | 0 |
Соединяем эти точки плавной кривой.
Фаза и смещение при \(t_1=1{,}5\) с:
\[ \Phi=\omega t_1=\pi\cdot1{,}5=\frac{3\pi}{2}\ \text{рад}=270^\circ. \]
\[ x(1{,}5)=10\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-10\ \text{см}. \]
То есть тело находится в крайнем отрицательном положении.
Когда смещение будет \(7{,}1\) см:
\[ 10\sin(\pi t)=7{,}1, \] \[ \sin(\pi t)=0{,}71\approx\frac{\sqrt2}{2}. \]
Первый раз: \[ \pi t=\frac{\pi}{4}, \] \[ t=\frac{1}{4}=0{,}25\ \text{с}. \]
То есть впервые смещение \(7{,}1\) см будет через: \[ \boxed{t=0{,}25\ \text{с}}. \]
Позже это смещение повторяется при \[ t=0{,}75+2n\ \text{с} \] и снова при \[ t=0{,}25+2n\ \text{с},\qquad n=0,1,2,\ldots \]
Ответ:
\[
x(t)=10\sin(\pi t)\ \text{см};
\]
при \(t=1{,}5\) с фаза \(\frac{3\pi}{2}\) рад, смещение \(-10\) см; впервые смещение \(7{,}1\) см будет через \(0{,}25\) с.
Если в вашем классе колебание записывают через косинус и принимают \(x(0)=A\), то уравнение будет \(x=10\cos(\pi t)\). При \(t=1{,}5\) с тогда получится \(x=0\), а время \(0{,}25\) с останется тем же.
график в метрах сделай
В метрах уравнение такое: \[ x(t)=0{,}1\sin(\pi t)\ \text{м}. \]
Таблица точек для графика:
| \(t\), с | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\), м | 0 | 0,071 | 0,1 | 0,071 | 0 | \(-0{,}071\) | \(-0{,}1\) | \(-0{,}071\) | 0 |
Схематичный график (ось \(x\) в метрах):
x, м
0,10 ┤ ●
0,07 ┤ ● ●
0,00 ┼●───────────────●───────────────●─ t, с
-0,07 ┤ ● ●
-0,10 ┤ ●
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
Точки стоят через \(0{,}25\) с; кривую проводим плавно — это синусоида с амплитудой \(0{,}1\) м и периодом \(2\) с.
Для сравнения: при \(t=1{,}5\) с смещение теперь записывается как \[ x=-0{,}1\ \text{м}, \] это то же самое, что \(-10\) см. Время \(0{,}25\) с не меняется.
