Амплитуда колебаний 10 см, а частота 0,5 Гц. Написать уравнение х=x(г) и построить его график. Найти фазу и смещение через 1,5 с. Определить, через сколько времени смещение будет…

Начальная фаза в условии не задана. Беру стандартный вариант: при \(t=0\) тело проходит положение равновесия и движется в положительном направлении, то есть \(\varphi_0=0\).

Краткий ответ.
\[ x(t)=10\sin(\pi t)\ \text{см} \] или в СИ: \[ x(t)=0{,}10\sin(\pi t)\ \text{м}. \] Период \(T=2\) с.

Через \(1{,}5\) с: \[ \Phi=1{,}5\pi\ \text{рад}=270^\circ,\qquad x=-10\ \text{см}. \]

Смещение \(7{,}1\) см впервые будет примерно через \[ t\approx 0{,}25\ \text{с}. \] В пределах первого периода таких моментов два: \(t\approx0{,}25\) с и \(t\approx0{,}75\) с.

1. Уравнение колебаний

Циклическая частота: \[ \omega=2\pi\nu=2\pi\cdot0{,}5=\pi\ \text{рад/с}. \]

Общий вид: \[ x=A\sin(\omega t+\varphi_0). \]

При \(A=10\) см и \(\varphi_0=0\): \[ \boxed{x=10\sin(\pi t)\ \text{см}}. \]

Период: \[ T=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{0{,}5}=2\ \text{с}. \]

2. График

График — синусоида с амплитудой \(10\) см и периодом \(2\) с. Ключевые точки:

Соедини эти точки плавной линией — получится синусоида. Далее она повторяется через каждые \(2\) с.

3. Фаза и смещение при \(t=1{,}5\) с

Фаза: \[ \Phi=\omega t+\varphi_0=\pi\cdot1{,}5=1{,}5\pi. \] То есть \[ \boxed{\Phi=\frac{3\pi}{2}\ \text{рад}=270^\circ}. \]

Смещение: \[ x=10\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=10\cdot(-1)=-10\ \text{см}. \] \[ \boxed{x=-10\ \text{см}}. \]

Знак «минус» означает, что тело находится на \(10\) см в стороне, противоположной выбранному положительному направлению.

4. Когда смещение будет \(7{,}1\) см

Решаем: \[ 10\sin(\pi t)=7{,}1, \] \[ \sin(\pi t)=0{,}71. \]

Отсюда: \[ \pi t=\arcsin0{,}71+2\pi n \] или \[ \pi t=\pi-\arcsin0{,}71+2\pi n. \]

Так как \(\arcsin0{,}71\approx0{,}790\) рад: \[ t_1\approx\frac{0{,}790}{\pi}\approx0{,}25\ \text{с}, \] \[ t_2\approx\frac{\pi-0{,}790}{\pi}\approx0{,}75\ \text{с}. \]

То есть: \[ \boxed{t_1\approx0{,}25\ \text{с},\qquad t_2\approx0{,}75\ \text{с}} \] в пределах первого периода. Дальше эти моменты повторяются через каждые \(2\) с.

Если \(7{,}1\) см — это округление \(10/\sqrt2\approx7{,}07\) см, то ответы получаются точнее: \[ t_1=0{,}25\ \text{с},\qquad t_2=0{,}75\ \text{с}. \]

Проверка:
\[ 10\sin\left(\pi\cdot0{,}25\right)=10\sin\frac{\pi}{4}\approx7{,}07\ \text{см}. \] Всё сходится.