%14 Найдите значения переменой x,при котором верно равенство
Сверь числа и знаки с фото.
- Найдите значение переменной x, при котором верно равенство: а) \(\sqrt{3+5x}=7\); б) \(\sqrt{10x-14}=11\); в) \(\sqrt{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}}=0\).
Краткий ответ:
а) \(x=9{,}2\); б) \(x=13{,}5\); в) \(x=1{,}5\).
Как решать
Арифметический квадратный корень \(\sqrt{A}\) не может быть отрицательным. Поэтому уравнение \(\sqrt{A}=B\) равносильно системе условий: \(B\ge 0\) и \(A=B^2\). Если \(B<0\), решений нет. В этом задании справа стоят \(7\), \(11\) и \(0\), поэтому можно возводить обе части в квадрат.
а)
\[
\sqrt{3+5x}=7
\]
\[
3+5x=7^2=49
\]
\[
5x=46
\]
\[
x=\frac{46}{5}=9{,}2
\]
б)
\[
\sqrt{10x-14}=11
\]
\[
10x-14=121
\]
\[
10x=135
\]
\[
x=\frac{135}{10}=13{,}5
\]
в)
\[
\sqrt{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}}=0
\]
Корень равен нулю только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю:
\[
\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}=0
\]
\[
\frac{1}{3}x=\frac{1}{2}
\]
\[
x=\frac{3}{2}=1{,}5
\]
Проверка:
\[
\sqrt{3+5\cdot9{,}2}=\sqrt{49}=7;
\]
\[
\sqrt{10\cdot13{,}5-14}=\sqrt{121}=11;
\]
\[
\sqrt{\frac{1}{3}\cdot1{,}5-\frac{1}{2}}=\sqrt{0}=0.
\]
Все найденные значения подходят, посторонних корней нет.
Обсуждение
2 сообщения%314 Найдите значения переменой x,при котором верно равенство
Это задание 314. Ответы: а) \(x=9{,}2\); б) \(x=13{,}5\); в) \(x=1{,}5\).
Как решать. Уравнение вида \(\sqrt{A}=b\) при \(b\ge 0\) решают возведением в квадрат: \(A=b^2\). При \(b<0\) решений нет (корень неотрицателен), а при \(b\ge 0\) найденное значение автоматически входит в область определения, ведь под корнем получится \(b^2\ge 0\).
а) \(\sqrt{3+5x}=7\) \[ 3+5x=49,\qquad 5x=46,\qquad x=\frac{46}{5}=9{,}2. \] Проверка: \(\sqrt{3+46}=\sqrt{49}=7\) — верно.
б) \(\sqrt{10x-14}=11\) \[ 10x-14=121,\qquad 10x=135,\qquad x=13{,}5. \] Проверка: \(\sqrt{135-14}=\sqrt{121}=11\) — верно.
в) \(\sqrt{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}}=0\)
Корень равен нулю только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю: \[ \frac{1}{3}x-\frac{1}{2}=0,\qquad \frac{x}{3}=\frac{1}{2},\qquad x=\frac{3}{2}=1{,}5. \] Проверка: \(\sqrt{0{,}5-0{,}5}=0\) — верно.
Главное правило для похожих заданий: сначала проверь, что число справа неотрицательно, затем возведи обе части в квадрат и в конце подставь ответ в исходное равенство.
