Реши сечения 10 класс

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Шесть чертежей сечений без номеров.
Верхний ряд, слева направо:

1. [Рисунок: треугольная пирамида; на левом боковом ребре отмечена P, на правом боковом ребре — M, на правом переднем ребре основания — N; синие линии и буквенные обозначения.]

2. [Рисунок: прямоугольный параллелепипед; M на нижнем переднем ребре, N на нижнем правом ребре, P на правом вертикальном ребре.]

3. [Рисунок: треугольная пирамида; M на левом боковом ребре, N на правом боковом ребре, P на левом переднем ребре основания.]
Нижний ряд, слева направо:

4. [Рисунок: треугольная пирамида; M на левом боковом ребре, N на правом боковом ребре, P на заднем ребре основания, показанном штриховой линией.]

5. [Рисунок: прямоугольный параллелепипед; M на левом переднем вертикальном ребре, N на нижнем переднем ребре, P на нижнем правом ребре; синие линии и частично неразборчивые рукописные обозначения.]

6. [Рисунок: треугольная пирамида; N на правом боковом ребре, P на левом переднем ребре основания, M на правом переднем ребре основания; синие линии.]

Answer

Сразу ответ: на фото шесть независимых сечений. Новые точки $Q,R,S,T$ ниже — это вершины сечения, которые надо достроить. Общий принцип: две точки, лежащие в одной грани, соединяем отрезком; если нужной точки на ребре нет, ищем след плоскости на основании или на противоположной грани.

Для объяснения временно обозначаю вершину пирамиды через $S$, а вершины её основания — $A,B,C$.

1. Верхний левый.
$P\in SA,\ M\in SB,\ N\in BC$.
Соединяем $PM$ и $MN$. Затем:
$$
K=PM\cap AB,\qquad Q=KN\cap AC.
$$
Сечение — четырёхугольник
$$
P-M-N-Q.
$$

2. Верхний средний.
Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$; $M\in AB,\ N\in BC,\ P\in CC_1$.
Сечение — шестиугольник. Его вершины лежат на рёбрах
$$
AB,\ BC,\ CC_1,\ C_1D_1,\ D_1A_1,\ AA_1.
$$
По порядку: $M-N-P-S-T-R$, где $S\in C_1D_1,\ T\in D_1A_1,\ R\in AA_1$.
Сначала $MN$ и $NP$. Потом достраиваем $S,T$ на верхней грани и $R$ на левом переднем ребре.

3. Верхний правый.
$M\in SA,\ N\in SB,\ P\in AC$.
Находим
$$
K=MN\cap AB,\qquad Q=KP\cap BC.
$$
Сечение:
$$
P-M-N-Q.
$$

4. Нижний левый.
По рисунку $M\in SA,\ N\in SB,\ P\in AB$, то есть все три точки лежат в одной боковой грани $SAB$.
Поэтому плоскость сечения совпадает с этой гранью, а сечение — треугольник
$$
SAB
$$
целиком, а не только треугольник $MNP$.

5. Нижний средний.
Тот же параллелепипед; $M\in AA_1,\ N\in AB,\ P\in BC$.
Сечение — шестиугольник с вершинами на рёбрах
$$
AA_1,\ AB,\ BC,\ CC_1,\ C_1D_1,\ D_1A_1.
$$
По порядку:
$$
M-N-P-R-S-T,
$$
где $R\in CC_1,\ S\in C_1D_1,\ T\in D_1A_1$.

6. Нижний правый.
$N\in SB,\ P\in AC,\ M\in BC$.
Соединяем $PM$ в основании и $MN$ в грани $SBC$. Затем
$$
K=PM\cap AB,\qquad Q=KN\cap SA.
$$
Сечение:
$$
P-M-N-Q.
$$

Проверка: каждая сторона полученного многоугольника должна лежать в одной грани многогранника. Если две точки не лежат в одной грани, соединять их напрямую нельзя — сначала нужно найти вспомогательную точку на ребре.