Ответьте на вопросы, выбрав правильный вариант ответа 1. При оплате услуг через платёжный терминал взимается комиссия 5%.

Краткие ответы:

1. 430 рублей (В)
2. 5194 (А)
3. 6 часов (В)
4. 409 510 (Б)
5. 1 или 3 — условие не даёт единственного ответа
6. Демьянов на 10 лет (Г)
7. 360 (Б)
8. 20 кг (А)
9. Нельзя
10. Первый: \(4\times9\) м; второй: \(6\times12\) м или \(8\times8\) м
11. 1) 8 мин 24 с; 2) 10 мин 30 с; 3) 17 мин 42 с при обычном чтении условия
12. 1) 22 000 и 10 100 руб.; 2) 726 000 руб.; 3) на 45 750 руб.

Решения

1. После комиссии на счёт попадает \(95\%\) внесённой суммы. Нужно: \[ 0{,}95x\ge 400 \quad\Rightarrow\quad x\ge 421{,}05. \] Сумма кратна 10, значит minimum \(430\) рублей. При 420 рублях на счёт придёт только \(399\) рублей.

2. Из попытки 7628 следует, что цифр \(7,6,2,8\) в коде нет.
   Из 9257 остаются \(9\) и \(5\), обе не на своих местах.
   Из 4789 остаются \(4\) и \(9\). Значит, в коде есть \(4,5,9\).
   В 6182 из-за исключённых \(6,8,2\) остаётся только \(1\), причём на своём месте — втором.
   Тогда \(9\) не может быть на 1-м и 4-м местах, значит она на 3-м; \(4\) не на 1-м, значит на 4-м; \(5\) — на 1-м.
   Код: 5194.

3. В 8–9 часов стрелки совпадают в \(8:43\frac{7}{11}\).
   В 2–3 часа после полудня они противоположны в \(14:43\frac{7}{11}\).
   Разница — ровно 6 часов.

4. Считаем «неотличные» билеты, где ни одна соседняя пара не отличается на 5. Пара цифр с разностью 5: \(0\leftrightarrow5,\ 1\leftrightarrow6,\ 2\leftrightarrow7,\ 3\leftrightarrow8,\ 4\leftrightarrow9\).
   Первую цифру выбираем 10 способами, каждую следующую — 9 способами: нельзя только одну цифру, отличающуюся на 5.
   \[ 10\cdot 9^5=590\,490. \] Всего билетов \(1\,000\,000\), значит отличных: \[ 1\,000\,000-590\,490=409\,510. \]

5. Пусть всего \(N\) шариков. Белых \(0{,}48N=\frac{12N}{25}\), поэтому \(N\) кратно 25. При \(N\le80\): \[ N=25,\ 50,\ 75. \] Разность «чёрные минус белые» равна \(0{,}04N\), то есть \(1,2,3\). После удаления 5 шариков количества сравнялись, значит разность должна быть нечётной. Подходят \(N=25\) и \(N=75\).

• при \(N=25\): разность 1;
• при \(N=75\): разность 3.
  Оба случая возможны, поэтому единственного ответа нет: подходят варианты «на один» и «на три». Если составитель имел в виду именно 75 шариков, то ответ — на 3.

6. Сложим четыре известные разницы: \[ 1+2+3+4=10. \] Это равно разности «сумма возрастов носителей фамилий Антонов, Борисов, Владимиров, Георгиев» минус «сумма возрастов Антона, Бориса, Владимира, Георгия». После сокращения остаётся: \[ \text{возраст Демьяна}-\text{возраст Демьянова}=10. \] Значит, Демьян старше на 10 лет, то есть Демьянов младше на 10 лет.

7. Ставим 5 белых шаров в ряд. Между ними и по краям есть 6 «карманов»: \[ \_\,Б\,\_\,Б\,\_\,Б\,\_\,Б\,\_\,Б\,\_. \] Чтобы чёрные не стояли рядом, выбираем 4 разных кармана: \[ \binom64=15. \] Чёрные шары пронумерованы, поэтому их можно расставить \(4!=24\) способами: \[ 15\cdot24=360. \]

8. Сумма всех посылок: \[ 9+10+12+13+20+22=86. \] Если третьему клиенту досталась посылка массой \(m\), то сумма двух других клиентов \(86-m\). Она делится на 3, потому что масса первого вдвое больше массы второго. Из вариантов только \(m=20\) даёт \(66\), делящееся на 3. Проверка: второй клиент получает \(9+13=22\) кг, первый — \(10+12+22=44\) кг, третьему остаётся 20 кг.

9. Пусть \(x,y,z\) — число банкнот по 1, 10 и 100 зедов. Тогда \[ x+y+z=40, \] \[ x+10y+100z=1000. \] Вычтем первое: \[ 9y+99z=960. \] Слева число делится на 9, а \(960\) на 9 не делится. Значит, набрать нельзя.

10. Первый участок: \[ ab=2(a+b)+10. \] \[ ab-2a-2b=10 \quad\Rightarrow\quad (a-2)(b-2)=14. \] Подходящие целые стороны \(\le15\): \(a=4,\ b=9\).
    Первый участок: \(4\times9\) м.

Второй участок: \[ cd=2\cdot 2(c+d)=4(c+d). \] \[ (c-4)(d-4)=16. \] Подходят \(6\times12\) и \(8\times8\).
Если квадрат не считать допустимой формой «прямоугольного участка», остаётся только \(6\times12\) м; если считать, возможны оба варианта.

11. Горячий кран даёт \[ 168:21=8\text{ л/мин}. \] Оба крана вместе: \(12+8=20\) л/мин.

1. Полная ванна: \[ 168:20=8{,}4\text{ мин}=8\text{ мин }24\text{ с}. \]

2. В ванне \(3/4\) объёма: \[ 168\cdot\frac34=126\text{ л}. \] Холодной должно быть треть всей воды: \[ 126:3=42\text{ л}. \] Открываем оба крана на \[ 42:12=3{,}5\text{ мин}. \] За это время горячей нальётся \(28\) л, останется добрать \(84-28=56\) л горячей: \[ 56:8=7\text{ мин}. \] Итого: \[ 3{,}5+7=10{,}5\text{ мин}=10\text{ мин }30\text{ с}. \]

3. Наполняем до половины: \[ 84:20=4{,}2\text{ мин}. \] Вылили половину имевшейся воды — осталось 42 л. Добрать горячей до \(3/4\) объёма нужно 84 л: \[ 84:8=10{,}5\text{ мин}. \] Всего: \[ 4{,}2+3+10{,}5=17{,}7\text{ мин}=17\text{ мин }42\text{ с}. \]

Если в п. 2 понимать «треть» как треть объёма ванны, получится \(8\) мин \(45\) с. Если в п. 3 «половину вылили» означает половину объёма ванны, получится \(22\) мин \(57\) с.

12. Кредит \(1\,200\,000\) руб. на 120 месяцев. Ежемесячный основной платёж: \[ 1\,200\,000:120=10\,000\text{ руб.} \]

1. Первый платёж: \[ 10\,000+0{,}01\cdot1\,200\,000=10\,000+12\,000=22\,000. \] Последний остаток основного долга — \(10\,000\), проценты \(100\): \[ 10\,000+100=10\,100. \]

2. Остатки долга перед платежами образуют сумму \[ 1\,200\,000+1\,190\,000+\cdots+10\,000. \] Проценты: \[ 0{,}01\cdot\frac{120(1\,200\,000+10\,000)}2 =726\,000\text{ руб.} \]

3. Через 5 лет, то есть после 60 платежей, остаток: \[ 1\,200\,000-60\cdot10\,000=600\,000. \] После досрочного платежа: \[ 600\,000-150\,000=450\,000. \] Осталось 60 месяцев, новый основной платёж: \[ 450\,000:60=7\,500. \] Проценты за оставшиеся 60 месяцев: \[ 0{,}01\cdot\frac{60(450\,000+7\,500)}2=137\,250. \] Раньше за эти же 60 месяцев было бы: \[ 0{,}01\cdot\frac{60(600\,000+10\,000)}2=183\,000. \] Уменьшение: \[ 183\,000-137\,250=45\,750\text{ руб.} \]