упражнения 21 (1,2,3) Дано, си если есть , решение
Сверь числа и знаки с фото.
УПРАЖНЕНИЕ 21
- Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. (\(M_3 = 6 \cdot 10^{24}\) кг.)
- Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно 1,6 м/с².
- На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли?
Краткий ответ
- \(v \approx 6{,}7\cdot10^3\) м/с \(=6{,}7\) км/с.
- \(R_{\text{Л}}\approx1{,}74\cdot10^6\) м \(=1{,}74\cdot10^3\) км.
- \(h\approx4{,}7\cdot10^3\) км над поверхностью Земли; от центра Земли \(r\approx1{,}1\cdot10^4\) км.
Главная идея. Сила всемирного тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение:
\[ \frac{mv^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}, \qquad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]
Масса спутника сокращается, поэтому скорость орбиты от неё не зависит.
1
Дано:
\(h=2600\) км,
\(M_{\text{З}}=6\cdot10^{24}\) кг,
\(R_{\text{З}}=6400\) км — табличное значение,
\(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\).
СИ:
\(h=2{,}6\cdot10^6\) м,
\(R_{\text{З}}=6{,}4\cdot10^6\) м.
Решение:
Радиус орбиты:
\[ r=R_{\text{З}}+h =6{,}4\cdot10^6+2{,}6\cdot10^6 =9{,}0\cdot10^6\ \text{м}. \]
Тогда
\[ v=\sqrt{\frac{GM_{\text{З}}}{r}} =\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{9{,}0\cdot10^6}} \approx6{,}7\cdot10^3\ \text{м/с}. \]
Ответ: \(v\approx6{,}7\) км/с.
2
Дано:
\(v=1{,}67\) км/с,
\(g=1{,}6\) м/с².
СИ:
\(v=1{,}67\cdot10^3\) м/с.
Решение:
Вблизи поверхности Луны сила тяжести сообщает спутнику центростремительное ускорение:
\[ mg=\frac{mv^2}{R_{\text{Л}}}. \]
Отсюда
\[ R_{\text{Л}}=\frac{v^2}{g}. \]
\[ R_{\text{Л}} =\frac{(1{,}67\cdot10^3)^2}{1{,}6} \approx1{,}74\cdot10^6\ \text{м}. \]
Переводим в километры:
\[ R_{\text{Л}}\approx1{,}74\cdot10^3\ \text{км}. \]
Ответ: \(R_{\text{Л}}\approx1{,}74\cdot10^3\) км, то есть около \(1700\) км.
3
Дано:
\(F_h=\dfrac{F_0}{3}\),
\(R_{\text{З}}=6400\) км,
\(h\) — расстояние от поверхности Земли.
СИ:
\(R_{\text{З}}=6{,}4\cdot10^6\) м.
Решение:
На поверхности Земли:
\[ F_0=G\frac{M_{\text{З}}m}{R_{\text{З}}^2}. \]
На высоте \(h\):
\[ F_h=G\frac{M_{\text{З}}m}{(R_{\text{З}}+h)^2}. \]
По условию \(F_h=\dfrac{F_0}{3}\), значит:
\[ \frac{(R_{\text{З}}+h)^2}{R_{\text{З}}^2}=3. \]
Отсюда
\[ R_{\text{З}}+h=R_{\text{З}}\sqrt3, \]
\[ h=R_{\text{З}}(\sqrt3-1). \]
\[ h\approx6{,}4\cdot10^6\cdot(1{,}732-1) \approx4{,}7\cdot10^6\ \text{м} =4{,}7\cdot10^3\ \text{км}. \]
Расстояние от центра Земли:
\[ r=R_{\text{З}}+h=R_{\text{З}}\sqrt3 \approx1{,}1\cdot10^7\ \text{м} \approx1{,}1\cdot10^4\ \text{км}. \]
Ответ: примерно \(4{,}7\cdot10^3\) км над поверхностью Земли, или \(1{,}1\cdot10^4\) км от центра Земли.
Проверка.
В задаче 1 скорость меньше первой космической \(7{,}9\) км/с, что логично: спутник находится выше поверхности.
В задаче 2 радиус Луны \(1740\) км близок к реальному значению \(1737\) км.
В задаче 3 при \(R+h=R\sqrt3\) сила тяготения действительно уменьшается в \(3\) раза, так как сила обратно пропорциональна квадрату расстояния.
Обсуждение
2 сообщениядано, найти, решение
Оформляю по схеме: дано → найти → СИ → решение.
1
Дано:
\(h=2600\ \text{км}\),
\(M_{\text{З}}=6\cdot10^{24}\ \text{кг}\),
\(R_{\text{З}}=6400\ \text{км}\),
\(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}\).
Найти: \(v\).
СИ:
\(h=2{,}6\cdot10^6\ \text{м}\),
\(R_{\text{З}}=6{,}4\cdot10^6\ \text{м}\).
Решение:
Радиус орбиты:
\[ r=R_{\text{З}}+h=6{,}4\cdot10^6+2{,}6\cdot10^6 =9{,}0\cdot10^6\ \text{м}. \]
Сила тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение:
\[ G\frac{M_{\text{З}}m}{r^2}=m\frac{v^2}{r}. \]
Отсюда
\[ v=\sqrt{\frac{GM_{\text{З}}}{r}}. \]
Подставляем:
\[ v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{9{,}0\cdot10^6}} \approx6{,}7\cdot10^3\ \text{м/с}. \]
Ответ: \(v\approx6{,}7\ \text{км/с}\).
2
Дано:
\(v=1{,}67\ \text{км/с}\),
\(g=1{,}6\ \text{м/с}^2\).
Найти: \(R_{\text{Л}}\) — радиус Луны.
СИ:
\(v=1{,}67\cdot10^3\ \text{м/с}\).
Решение:
У поверхности Луны сила тяжести сообщает спутнику центростремительное ускорение:
\[ mg=m\frac{v^2}{R_{\text{Л}}}. \]
Масса спутника сокращается:
\[ g=\frac{v^2}{R_{\text{Л}}}, \]
значит,
\[ R_{\text{Л}}=\frac{v^2}{g}. \]
Подставляем:
\[ R_{\text{Л}} =\frac{(1{,}67\cdot10^3)^2}{1{,}6} \approx1{,}74\cdot10^6\ \text{м}. \]
Переводим в километры:
\[ R_{\text{Л}}\approx1{,}74\cdot10^3\ \text{км}. \]
Ответ: \(R_{\text{Л}}\approx1{,}74\cdot10^6\ \text{м}\approx1740\ \text{км}\).
3
Дано:
\(F_h=\dfrac{F_0}{3}\),
\(R_{\text{З}}=6400\ \text{км}\).
Найти: \(h\) — высоту над поверхностью Земли.
СИ:
\(R_{\text{З}}=6{,}4\cdot10^6\ \text{м}\).
Решение:
На поверхности Земли:
\[ F_0=G\frac{M_{\text{З}}m}{R_{\text{З}}^2}. \]
На высоте \(h\):
\[ F_h=G\frac{M_{\text{З}}m}{(R_{\text{З}}+h)^2}. \]
По условию \(F_h=\dfrac{F_0}{3}\), поэтому
\[ \frac{F_0}{F_h}=3. \]
Тогда
\[ \frac{(R_{\text{З}}+h)^2}{R_{\text{З}}^2}=3. \]
Извлекаем корень:
\[ R_{\text{З}}+h=R_{\text{З}}\sqrt3. \]
Отсюда
\[ h=R_{\text{З}}(\sqrt3-1). \]
Подставляем:
\[ h\approx6{,}4\cdot10^6\cdot(1{,}732-1) \approx4{,}7\cdot10^6\ \text{м}. \]
Или:
\[ h\approx4{,}7\cdot10^3\ \text{км}. \]
Если нужно расстояние от центра Земли:
\[ r=R_{\text{З}}+h=R_{\text{З}}\sqrt3 \approx1{,}1\cdot10^4\ \text{км}. \]
Ответ: \(h\approx4{,}7\cdot10^3\ \text{км}\) над поверхностью Земли.
