номер 151 буква а

Краткий ответ

\[ \frac{a^{2}-9}{2a^{2}+1}\cdot\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right)=6 \] (при \(a\neq 3\) и \(a\neq -3\)).

Как это получается

Шаг 1. Складываем дроби в скобках — приводим к общему знаменателю.

Общий знаменатель: \((a-3)(a+3)=a^{2}-9\).

\[ \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3} =\frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{a^{2}-9} \]

Шаг 2. Раскрываем скобки в числителе.

\[ (6a+1)(a+3)=6a^{2}+19a+3 \] \[ (6a-1)(a-3)=6a^{2}-19a+3 \]

Складываем: слагаемые \(19a\) и \(-19a\) взаимно уничтожаются:

\[ 6a^{2}+19a+3+6a^{2}-19a+3=12a^{2}+6=6(2a^{2}+1) \]

Значит, скобка равна

\[ \frac{6(2a^{2}+1)}{a^{2}-9}. \]

Шаг 3. Умножаем на первую дробь.

\[ \frac{a^{2}-9}{2a^{2}+1}\cdot\frac{6(2a^{2}+1)}{a^{2}-9} \]

Множители \(a^{2}-9\) и \(2a^{2}+1\) сокращаются (они стоят и в числителе, и в знаменателе), остаётся \(6\).

Главная идея: множитель \(2a^{2}+1\) в числителе скобки специально подобран так, чтобы сократиться со знаменателем первой дроби; поэтому сначала надо сложить дроби в скобках, а не перемножать «в лоб».

Проверка подстановкой. Возьмём \(a=1\):

\[ \frac{1-9}{2+1}\cdot\left(\frac{7}{-2}+\frac{5}{4}\right)=-\frac{8}{3}\cdot\left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{72}{12}=6. \]

Совпало, значит преобразование верное.