429. Решите способом подстановки систему уравнений:

Ответ уже готов — вот он.

Кратко: ответы к № 429

Для пар принято писать \((x; y)\):

• а) \((5; 2)\) и \((2; -1)\)
• б) \((6; 5)\) и \((-4; -5)\)
• в) \((4; -2)\) и \((1; -5)\)
• г) \((4; 5)\) и \((13; -4)\)

Принцип способа подстановки

1. Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.
2. Подставляем это выражение в другое уравнение — остаётся уравнение с одной неизвестной (чаще всего квадратное).
3. Находим её корни.
4. Для каждого корня возвращаемся к выражению из шага 1 и находим вторую переменную.
5. Записываем пары и подставляем их в оба уравнения для проверки.

Решение по пунктам

а) \(y^{2} - x = -1,\ x = y + 3\). Подставляем \(x\):

\[ y^{2} - (y + 3) = -1 \;\Rightarrow\; y^{2} - y - 2 = 0 \;\Rightarrow\; y = 2 \text{ или } y = -1. \]

Тогда \(x = y + 3\): при \(y = 2\) получаем \(x = 5\), при \(y = -1\) получаем \(x = 2\).

б) \(y = x - 1,\ x^{2} - 2y = 26\):

\[ x^{2} - 2(x - 1) = 26 \;\Rightarrow\; x^{2} - 2x - 24 = 0 \;\Rightarrow\; x = 6 \text{ или } x = -4. \]

Тогда \(y = x - 1\): \(y = 5\) или \(y = -5\).

в) \(x - y = 6 \Rightarrow x = y + 6\). Подставляем в \(xy + x = -4\):

\[ (y + 6)y + (y + 6) = -4 \;\Rightarrow\; y^{2} + 7y + 10 = 0 \;\Rightarrow\; y = -2 \text{ или } y = -5. \]

Тогда \(x = y + 6\): \(x = 4\) или \(x = 1\).

г) \(x + y = 9 \Rightarrow x = 9 - y\). Подставляем в \(y^{2} + x = 29\):

\[ y^{2} + 9 - y = 29 \;\Rightarrow\; y^{2} - y - 20 = 0 \;\Rightarrow\; y = 5 \text{ или } y = -4. \]

Тогда \(x = 9 - y\): \(x = 4\) или \(x = 13\).

Проверка (выборочно)

• а) \((5; 2)\): \(2^{2} - 5 = -1\) ✔, \(2 + 3 = 5\) ✔.
• б) \((-4; -5)\): \((-4)^{2} - 2\cdot(-5) = 16 + 10 = 26\) ✔.
• в) \((1; -5)\): \(1\cdot(-5) + 1 = -4\) ✔, \(1 - (-5) = 6\) ✔.
• г) \((13; -4)\): \(13 + (-4) = 9\) ✔, \((-4)^{2} + 13 = 16 + 13 = 29\) ✔.

Главное, что стоит запомнить: после подстановки всегда получается уравнение с одной переменной, а корней у квадратного уравнения бывает два — значит, и решений системы обычно два. Пары не «смешиваем»: каждой найденной \(y\) соответствует своя \(x\).