Подготовительный вариант 1. Решите уравнение: а) −8 + 3x = −12 − 7x; б) 6x² − 5x + 14 = 4x² + x + 14.

Краткие ответы

1. а) \(x=-\frac{2}{5}=-0{,}4\); б) \(x=0\) или \(x=3\).
2. а) \(x=-13,\ 0,\ 13\); б) \(x=-5,\ 3,\ 5\).
3. \(x=-4,\ -2,\ 2,\ 4\).
4. а) \(x=-12\); б) \(x=1\).
5. \(16\) км/ч.

Как решать

1. а) Переносим слагаемые с \(x\) влево, числа вправо: \[ -8+3x=-12-7x \quad\Rightarrow\quad 10x=-4, \] отсюда \[ x=-\frac{4}{10}=-\frac{2}{5}=-0{,}4. \]

1. б) Переносим всё в левую часть: \[ 6x^2-5x+14-4x^2-x-14=0, \] \[ 2x^2-6x=0,\qquad 2x(x-3)=0. \] Значит, \(x=0\) или \(x=3\).

2. а) Выносим общий множитель: \[ x^3-169x=x(x^2-169)=x(x-13)(x+13)=0. \] Корни: \(-13,\ 0,\ 13\).

2. б) Группируем: \[ x^3-3x^2+75-25x=x^2(x-3)-25(x-3) \] \[ =(x-3)(x^2-25)=(x-3)(x-5)(x+5). \] Корни: \(-5,\ 3,\ 5\).

3. Биквадратное уравнение решается заменой \(t=x^2\), \(t\ge 0\): \[ t^2-20t+64=0. \] Корни: \[ t_1=4,\qquad t_2=16. \] Тогда \[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2, \] \[ x^2=16 \Rightarrow x=\pm 4. \] Итого: \(-4,\ -2,\ 2,\ 4\).

4. а) ОДЗ: \(12-x\ne 0\), то есть \(x\ne 12\). Приравниваем числитель к нулю: \[ x^2-144=0 \Rightarrow (x-12)(x+12)=0. \] Получаем \(x=12\) или \(x=-12\). Но \(x=12\) недопустим из-за ОДЗ. Ответ: \(x=-12\).

4. б) ОДЗ: \[ x\ne -3,\qquad x\ne 3. \] Умножаем обе части на \((x+3)(x-3)\): \[ x(x-3)+(x+4)(x+3)=18. \] Раскрываем скобки: \[ 2x^2+4x+12=18, \] \[ 2x^2+4x-6=0, \] \[ x^2+2x-3=0, \] \[ (x+3)(x-1)=0. \] Кандидаты: \(x=-3\) и \(x=1\). Корень \(-3\) не входит в ОДЗ, поэтому ответ: \(x=1\).

5. Пусть \(x\) км/ч — скорость из \(A\) в \(B\), \(x>0\). Тогда:

• путь туда: \(48\) км, время \(\frac{48}{x}\);
• путь обратно: \(48-8=40\) км, скорость \(x+4\), время \(\frac{40}{x+4}\).

Обратно затрачено на 1 час меньше: \[ \frac{48}{x}-\frac{40}{x+4}=1. \] Умножаем на \(x(x+4)\): \[ 48(x+4)-40x=x(x+4), \] \[ x^2-4x-192=0, \] \[ (x-16)(x+12)=0. \] Подходит только положительный корень: \(x=16\).

Проверка: \(\frac{48}{16}=3\) ч, \(\frac{40}{20}=2\) ч; разность \(3-2=1\) ч. Всё верно.