154-156(в)

Question

154-156(в)

Расшифровка фото нейросетью:
154. Выполните действия:
в) $\frac{b-c}{a+b}-\frac{ab-b^2}{a^2-ac}\cdot\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}$;

155. Упростите выражение:
в) $1-\left(\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}\right)\cdot\left(a-\frac{3a+2}{4}\right)$;

156. Выполните действия:
в) $(x^2-1)\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1\right)$.

Answer

Краткие ответы

154 в): $-\dfrac{c}{a}$

155 в): $\dfrac{a}{a+2}$

156 в): $x^2+1$

При допустимых значениях переменных: в 154 $a\ne0,\ a\ne c,\ a\ne \pm b$; в 155 $a\ne\pm2$; в 156 $x\ne\pm1$.

154 в)

$$
\frac{b-c}{a+b}-\frac{ab-b^2}{a^2-ac}\cdot\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}
$$

Раскладываем на множители:

$$
ab-b^2=b(a-b),\qquad a^2-ac=a(a-c),
$$
$$
a^2-c^2=(a-c)(a+c),\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b).
$$

Тогда произведение равно:

$$
\frac{b(a-b)}{a(a-c)}\cdot\frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)}
=\frac{b(a+c)}{a(a+b)}.
$$

Теперь вычитаем:

$$
\frac{b-c}{a+b}-\frac{b(a+c)}{a(a+b)}
=
\frac{a(b-c)-b(a+c)}{a(a+b)}.
$$

Раскрываем числитель:

$$
ab-ac-ab-bc=-c(a+b).
$$

Значит,

$$
\frac{-c(a+b)}{a(a+b)}=-\frac{c}{a}.
$$

155 в)

$$
1-\left(\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}\right)\left(a-\frac{3a+2}{4}\right)
$$

Сначала упростим первую скобку:

$$
\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}
=
\frac{2(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}
=
\frac{8}{a^2-4}.
$$

Вторая скобка:

$$
a-\frac{3a+2}{4}
=
\frac{4a-3a-2}{4}
=
\frac{a-2}{4}.
$$

Перемножаем:

$$
\frac{8}{a^2-4}\cdot\frac{a-2}{4}
=
\frac{8(a-2)}{4(a-2)(a+2)}
=
\frac{2}{a+2}.
$$

Остаётся:

$$
1-\frac{2}{a+2}
=
\frac{a+2-2}{a+2}
=
\frac{a}{a+2}.
$$

156 в)

$$
(x^2-1)\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1\right)
$$

Упростим выражение в скобках:

$$
\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}
=
\frac{(x+1)-(x-1)}{x^2-1}
=
\frac{2}{x^2-1}.
$$

Тогда:

$$
\frac{2}{x^2-1}+1
=
\frac{2+x^2-1}{x^2-1}
=
\frac{x^2+1}{x^2-1}.
$$

Умножаем:

$$
(x^2-1)\cdot\frac{x^2+1}{x^2-1}=x^2+1.
$$

Общий принцип: сначала раскладывай числители и знаменатели на множители или приводи дроби в скобках к общему знаменателю, затем сокращай.