2.313

Question

2.313

Расшифровка фото нейросетью:
2.313 Найдите произведение:
а) $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4}$;
б) $\frac{14}{17} \cdot \frac{34}{63}$;
в) $\frac{11}{45} \cdot \frac{9}{22}$;
г) $\frac{35}{8} \cdot \frac{16}{7}$;
д) $\frac{51}{29} \cdot \frac{58}{62}$;
е) $\frac{51}{103} \cdot \frac{103}{119}$;
ж) $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}$;
з) $\frac{4}{15} \cdot \frac{30}{49} \cdot \frac{7}{8}$.

Answer

Краткий ответ

а) $\frac{2}{3}$; б) $\frac{4}{9}$; в) $\frac{1}{10}$; г) $10$; д) $\frac{51}{31}=1\frac{20}{31}$; е) $\frac{3}{7}$; ж) $\frac{1}{6}$; з) $\frac{1}{7}$.

Главный принцип

Произведение дробей считается «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель»:

$$
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}
$$

Но удобнее сокращать до умножения: любой числитель можно сократить с любым знаменателем (не обязательно «своим»). Значение дроби от этого не меняется, а числа становятся маленькими. При нескольких множителях порядок сокращений любой.

Ключевые шаги

а) $\frac{8}{9}\cdot\frac{3}{4}$: 8 и 4 сокращаем на 4 (остаётся 2 и 1), 3 и 9 — на 3 (1 и 3).
$$
\frac{2\cdot 1}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}
$$

б) $\frac{14}{17}\cdot\frac{34}{63}$: 34 и 17 на 17 → 2 и 1; 14 и 63 на 7 → 2 и 9.
$$
\frac{2\cdot 2}{1\cdot 9}=\frac{4}{9}
$$

в) $\frac{11}{45}\cdot\frac{9}{22}$: 11 и 22 на 11 → 1 и 2; 9 и 45 на 9 → 1 и 5.
$$
\frac{1\cdot 1}{5\cdot 2}=\frac{1}{10}
$$

г) $\frac{35}{8}\cdot\frac{16}{7}$: 35 и 7 на 7 → 5 и 1; 16 и 8 на 8 → 2 и 1.
$$
\frac{5\cdot 2}{1\cdot 1}=10
$$

д) $\frac{51}{29}\cdot\frac{58}{62}$: сначала 58 и 62 на 2, получаем $\frac{29}{31}$. Теперь 29 и 29 сокращаются:
$$
\frac{51}{29}\cdot\frac{29}{31}=\frac{51}{31}=1\frac{20}{31}
$$

е) $\frac{51}{103}\cdot\frac{103}{119}$: 103 и 103 сокращаются, остаётся $\frac{51}{119}$. Делим на 17: 51 и 119 → 3 и 7.
$$
\frac{3}{7}
$$

ж) $\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{6}$: 4 и 4, затем 5 и 5 сокращаются, остаётся $\frac{1}{6}$.

з) $\frac{4}{15}\cdot\frac{30}{49}\cdot\frac{7}{8}$: 4 и 8 на 4 → 1 и 2; 30 и 15 на 15 → 2 и 1; 7 и 49 на 7 → 1 и 7.
$$
\frac{1\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 7\cdot 2}=\frac{1}{7}
$$

Проверка

Умножение «в лоб» с последующим сокращением даёт то же самое, например в пункте д):
$$
\frac{51\cdot 58}{29\cdot 62}=\frac{2958}{1798}=\frac{51}{31}.
$$
Пункт г): $\frac{35\cdot 16}{8\cdot 7}=\frac{560}{56}=10$ — сходится.

Алгоритм для похожего задания: записать всё под одну дробную черту → найти общие множители у числителей и знаменателей → сократить → перемножить остатки → при необходимости выделить целую часть.