154-156(в(

Question

154-156(в(

Расшифровка фото нейросетью:
154. Выполните действия:
в) $\frac{b-c}{a+b} - \frac{ab-b^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}$;

155. Упростите выражение:
в) $1 - \left(\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a - \frac{3a+2}{4}\right)$;

156. Выполните действия:
в) $(x^2-1)\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1\right)$.

Answer

Кратко:
154(в) $-\dfrac{c}{a}$; 155(в) $\dfrac{a}{a+2}$; 156(в) $x^2+1$.

Общий принцип

Алгебраическая дробь — это деление, поэтому сокращать можно только множители, а не слагаемые. Отсюда порядок работы:

1. разложить числители и знаменатели на множители;

2. при умножении/делении сократить общие множители;

3. при сложении/вычитании привести к общему знаменателю;

4. сократить итог и записать ответ.

154(в)

$$
\frac{b-c}{a+b} - \frac{ab-b^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}
$$

Раскладываем на множители:

$$
ab-b^2=b(a-b),\qquad a^2-ac=a(a-c),
$$
$$
a^2-c^2=(a-c)(a+c),\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b).
$$

Тогда произведение равно:

$$
\frac{b(a-b)}{a(a-c)} \cdot \frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)}
= \frac{b(a+c)}{a(a+b)}.
$$

Теперь вычитаем:

$$
\frac{b-c}{a+b} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)}
= \frac{a(b-c)-b(a+c)}{a(a+b)}
= \frac{ab-ac-ab-bc}{a(a+b)}
= \frac{-c(a+b)}{a(a+b)}
= -\frac{c}{a}.
$$

Ответ: $-\dfrac{c}{a}$ при $a\ne0,\ a\ne\pm b,\ a\ne c$.

155(в)

$$
1 - \left(\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a - \frac{3a+2}{4}\right)
$$

Сначала первая скобка:

$$
\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2}
= \frac{2(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}
= \frac{8}{a^2-4}.
$$

Вторая скобка:

$$
a - \frac{3a+2}{4}
= \frac{4a-(3a+2)}{4}
= \frac{a-2}{4}.
$$

Умножаем:

$$
\frac{8}{a^2-4} \cdot \frac{a-2}{4}
= \frac{8(a-2)}{4(a-2)(a+2)}
= \frac{2}{a+2}.
$$

Остаётся вычитание:

$$
1 - \frac{2}{a+2}
= \frac{a+2-2}{a+2}
= \frac{a}{a+2}.
$$

Ответ: $\dfrac{a}{a+2}$ при $a\ne\pm2$.

156(в)

$$
(x^2-1)\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1\right)
$$

Разность дробей:

$$
\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}
= \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}
= \frac{2}{x^2-1}.
$$

Прибавляем единицу:

$$
\frac{2}{x^2-1} + 1
= \frac{2+x^2-1}{x^2-1}
= \frac{x^2+1}{x^2-1}.
$$

Умножаем на $x^2-1$:

$$
(x^2-1)\cdot\frac{x^2+1}{x^2-1}=x^2+1.
$$

Ответ: $x^2+1$ при $x\ne\pm1$.

Проверка подстановкой

154(в) при $a=1,\ b=2,\ c=3$: исходное выражение даёт $-3$, и $-\frac{c}{a}=-3$.

155(в) при $a=3$: получается $\frac{3}{5}$, и $\frac{a}{a+2}=\frac{3}{5}$.

156(в) при $x=3$: получается $10$, и $x^2+1=10$.

Всё совпало — преобразования выполнены верно.