10.11. Домашняя работа: 1) (2³)⁻³·2⁷; 2) x⁵/(x⁻³)²; 3) (4x²y⁻³/(8x³y⁻⁴))⁻¹; 4) 8²/4³

Кратко:

1. \(\dfrac{1}{4}\); 2) \(x^{11}\); 3) \(\dfrac{2x}{y}\); 4) \(1\).

Что нужно помнить

\[ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\qquad (a^{m})^{n}=a^{mn} \] \[ a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},\qquad \frac{1}{a^{-n}}=a^{n},\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a} \] То есть: при умножении степеней показатели складываются, при делении — вычитаются, а степень в степень — перемножаются.

№ 1

\[ (2^{3})^{-3}\cdot 2^{7}=2^{3\cdot(-3)}\cdot 2^{7}=2^{-9+7}=2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4} \]

№ 2

Сначала возводим степень в степень: \((x^{-3})^{2}=x^{-3\cdot 2}=x^{-6}\). \[ \frac{x^{5}}{(x^{-3})^{2}}=\frac{x^{5}}{x^{-6}}=x^{5-(-6)}=x^{11} \] Вычитать минус — значит прибавлять: \(5+6=11\).

№ 3

Степень \(-1\) просто переворачивает дробь: \[ \left(\frac{4x^{2}y^{-3}}{8x^{3}y^{-4}}\right)^{-1}=\frac{8x^{3}y^{-4}}{4x^{2}y^{-3}} \] Дальше отдельно считаем числа и каждую букву: \[ \frac{8}{4}=2,\qquad x^{3-2}=x^{1},\qquad y^{-4-(-3)}=y^{-1} \] \[ 2\cdot x\cdot y^{-1}=\frac{2x}{y} \] Проверка другим путём: внутренняя дробь равна \(\frac{4}{8}\cdot x^{2-3}\cdot y^{-3+4}=\frac{1}{2}x^{-1}y=\frac{y}{2x}\), и \(\left(\frac{y}{2x}\right)^{-1}=\frac{2x}{y}\). Совпало.

№ 4

Приводим к одному основанию \(2\): \[ \frac{8^{2}}{4^{3}}=\frac{(2^{3})^{2}}{(2^{2})^{3}}=\frac{2^{6}}{2^{6}}=2^{0}=1 \] Или просто: \(8^{2}=64\), \(4^{3}=64\), значит \(64:64=1\).

Проверка

• № 2 при \(x=2\): \(\frac{2^{5}}{(2^{-3})^{2}}=\frac{32}{1/64}=2048=2^{11}\) — верно.
• № 3 при \(x=2,\ y=3\): левая часть даёт \(\frac{4}{3}\), формула \(\frac{2x}{y}=\frac{4}{3}\) — верно.

В черновике на фото в № 2 и № 3 показатели записаны с ошибкой: при возведении степени в степень их надо перемножать, а при перевороте дроби знак показателя меняется. Верхняя часть листа — предыдущая работа; если нужно, проверю и её.