16 и 17

Кратко

№ 16. Прямая \(c\) проходит через точки \(A=c\cap a\) и \(B=c\cap b\), а обе эти точки лежат в плоскости \(\alpha\). По аксиоме «если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в ней» получаем \(c\subset\alpha\).

№ 17. \(MNQP\) — параллелограмм со сторонами 6 см и 7 см, поэтому \(P_{MNQP}=26\) см.

№ 16. Доказательство

Дано: \(a\parallel b\), \(a\subset\alpha\), \(b\subset\alpha\), прямая \(c\) пересекает \(a\) и \(b\). Доказать: \(c\subset\alpha\).

1. Обозначим точки пересечения: \(A=c\cap a\), \(B=c\cap b\).
2. Так как \(A\in a\subset\alpha\), то \(A\in\alpha\); аналогично \(B\in b\subset\alpha\), значит \(B\in\alpha\).
3. Точки \(A\) и \(B\) различны: если бы \(A=B\), эта точка принадлежала бы и \(a\), и \(b\), но у параллельных прямых общих точек нет.
4. Через две различные точки \(A,B\in\alpha\) проходит единственная прямая, и это прямая \(c\). По аксиоме стереометрии (следствие из аксиом плоскости): если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Значит, \(c\subset\alpha\). Что и требовалось доказать.

В чём идея: параллельность \(a\parallel b\) в этой задаче нужна только для одного — чтобы точки пересечения \(A\) и \(B\) не слились в одну. Дальше работает чистая аксиома «две точки → вся прямая».

№ 17. Периметр \(MNQP\)

Ключевой инструмент — средняя линия треугольника: она параллельна основанию и равна его половине.

1. В \(\triangle ABD\): \(M\) — середина \(DB\), \(P\) — середина \(AB\), значит \(MP\) — средняя линия: \[ MP\parallel AD,\qquad MP=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \]
2. В \(\triangle ADC\): \(N\) — середина \(DC\), \(Q\) — середина \(AC\), значит \(NQ\) — средняя линия: \[ NQ\parallel AD,\qquad NQ=6\ \text{см}. \]
3. Отсюда \(MP\parallel NQ\) и \(MP=NQ\). По признаку «две противоположные стороны равны и параллельны» четырёхугольник \(MNQP\) — параллелограмм.
4. Аналогично \(MN\) и \(PQ\) — средние линии в \(\triangle BDC\) и \(\triangle ABC\): \[ MN\parallel BC,\ MN=\frac{14}{2}=7\ \text{см};\qquad PQ\parallel BC,\ PQ=7\ \text{см}. \]
5. Периметр: \[ P_{MNQP}=6+7+6+7=2\cdot(6+7)=26\ \text{см}. \]

Проверка: стороны попарно равны (\(6,7,6,7\)), обход вершин идёт \(M\to N\to Q\to P\), то есть \(MN\) и \(QP\) — противоположные стороны, как и \(NQ\) с \(PM\). Всё сходится.

Полезная картинка в голове: \(MNQP\) — это сечение тетраэдра плоскостью через середины четырёх рёбер; оно параллельно двум скрещивающимся рёбрам \(AD\) и \(BC\), а его стороны равны их половинам. Тот же приём сработает в любой задаче про середины рёбер.