Сделай мне контрольную работу по математике чтобы я смог понять

Сделал контрольную по теме «Квадратные корни» на уровне 8 класса. Сначала попробуй решить сам, а потом сверься с решениями.

Контрольная работа «Квадратные корни»

Вариант 1. Время: 40–45 минут. Калькулятор не нужен.

Задания

1. Вычисли: а) \(\sqrt{49}\)
   б) \(\sqrt{0{,}25}\)
   в) \(\sqrt{121}-\sqrt{16}\)
   г) \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)

2. Упрости: а) \(\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt{8}\)
   б) \((3\sqrt{5})^{2}-\sqrt{45}\cdot\sqrt{5}\)

3. а) Вынеси множитель из-под знака корня: \(\sqrt{72}\).
   б) Внеси множитель под знак корня: \(2\sqrt{3}\).

4. Сравни числа: \[ 3\sqrt{2}\ \text{и}\ 2\sqrt{5} \]

5. Освободись от иррациональности в знаменателе: а) \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\)
   б) \(\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}\)

6. Реши уравнения: а) \(x^{2}=25\)
   б) \(\sqrt{x}=7\)

7. Упрости выражение: \[ (\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \]

8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(13\) см, один катет равен \(5\) см. Найди второй катет.

9. При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение \(\sqrt{x-4}\)?

Ответы и решения

1.
а) \(\sqrt{49}=7\)
б) \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\)
в) \(\sqrt{121}-\sqrt{16}=11-4=7\)
г) \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)

2.
а) Разложим числа под корнями: \[ \sqrt{50}=5\sqrt{2},\quad \sqrt{18}=3\sqrt{2},\quad \sqrt{8}=2\sqrt{2} \] \[ 5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2} \]

б) \[ (3\sqrt{5})^{2}=9\cdot5=45 \] \[ \sqrt{45}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{45\cdot5}=\sqrt{225}=15 \] \[ 45-15=30 \]

3.
а) \[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2} \]

б) \[ 2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}\cdot3}=\sqrt{12} \]

4. Внесём множители под корень: \[ 3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{18} \] \[ 2\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot5}=\sqrt{20} \] Так как \(18<20\), то \[ 3\sqrt{2}<2\sqrt{5} \]

5.
а) Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[ \frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3} \]

б) Умножим на сопряжённое \(\sqrt{5}+2\): \[ \frac{1}{\sqrt{5}-2} =\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} =\frac{\sqrt{5}+2}{5-4} =\sqrt{5}+2 \]

6.
а) \[ x^{2}=25 \quad \Rightarrow \quad x=\pm5 \] Ответ: \(x=-5\) или \(x=5\).

б) \[ \sqrt{x}=7 \quad \Rightarrow \quad x=7^{2}=49 \] Ответ: \(x=49\).

7. Применим формулу разности квадратов: \[ (\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3}) =(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{3})^{2} =7-3=4 \]

8. По теореме Пифагора: \[ 13^{2}=5^{2}+b^{2} \] \[ 169=25+b^{2} \] \[ b^{2}=144 \] \[ b=12 \] Ответ: \(12\) см.

9. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ x-4\ge0 \] \[ x\ge4 \] Ответ: при \(x\ge4\).

Если нужно, могу сделать второй вариант, более сложную контрольную или разобрать отдельно задания, где ответ не сошёлся.