сделай с рисунком

Кратко:
а) \(ADA_1B_1\) — параллелограмм.
б) \(CD=17\).

Рисунок-схема

Масштаб не соблюдён; важно только расположение точек:

                    B
                   /|\
                  / | \
             C₁  /  |  \  A₁
                /   D   \
               /   / \   \
              /   /   \   \
             A---B₁-----C

Порядок построения: \(B_1\) — на \(AC\), ближе к \(A\); \(C_1\) — на \(AB\); \(A_1\) — на \(BC\); \(D=BB_1\cap CC_1\). Затем соединяем \(A,D,A_1,B_1\).

Параллелограмм выглядит так:

        D────A₁
       /    /
      A────B₁

---

а) Докажем, что \(ADA_1B_1\) — параллелограмм

Возьмём \(A\) за начало координат и обозначим

\[ \vec{AB}=\mathbf b,\qquad \vec{AC}=\mathbf c. \]

По данным отношениям:

\[ \vec{AC_1}=\frac{8}{11}\mathbf b, \]

\[ \vec{AA_1}=\frac23\mathbf b+\frac13\mathbf c, \qquad \vec{AB_1}=\frac14\mathbf c. \]

Пусть точка \(D\) лежит на \(BB_1\). Тогда для некоторого \(t\)

\[ \vec{AD}=(1-t)\mathbf b+\frac t4\mathbf c. \]

С другой стороны, \(D\) лежит на \(CC_1\), поэтому для некоторого \(s\)

\[ \vec{AD}=\frac{8s}{11}\mathbf b+(1-s)\mathbf c. \]

Приравниваем коэффициенты при независимых векторах \(\mathbf b,\mathbf c\):

\[ 1-t=\frac{8s}{11},\qquad \frac t4=1-s. \]

Отсюда \(t=\frac13\), \(s=\frac{11}{12}\). Значит,

\[ \vec{AD}=\frac23\mathbf b+\frac1{12}\mathbf c. \]

Теперь найдём вектор стороны \(B_1A_1\):

\[ \vec{B_1A_1} =\vec{AA_1}-\vec{AB_1} =\left(\frac23\mathbf b+\frac13\mathbf c\right)-\frac14\mathbf c =\frac23\mathbf b+\frac1{12}\mathbf c. \]

Получили

\[ \vec{AD}=\vec{B_1A_1}. \]

Значит, стороны \(AD\) и \(B_1A_1\) равны и параллельны. По признаку параллелограмма четырёхугольник \(ADA_1B_1\) — параллелограмм.

---

б) Найдём \(CD\)

Обозначим

\[ x=\mathbf b\cdot\mathbf c. \]

Так как \(AC=28\), то

\[ |\mathbf c|^2=28^2=784. \]

По теореме косинусов или через скалярное произведение:

\[ BC^2=|\mathbf c-\mathbf b|^2=|\mathbf b|^2+784-2x. \]

По условию \(BC=18\), поэтому

\[ |\mathbf b|^2+784-2x=324, \]

\[ |\mathbf b|^2=2x-460. \tag{1} \]

Теперь используем \(AD\perp BC\). Вектор

\[ \vec{AD}=\frac23\mathbf b+\frac1{12}\mathbf c, \qquad \vec{BC}=\mathbf c-\mathbf b. \]

Их скалярное произведение равно нулю:

\[ \left(\frac23\mathbf b+\frac1{12}\mathbf c\right)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0. \]

Раскрываем:

\[ \frac23(x-|\mathbf b|^2)+\frac1{12}(784-x)=0. \]

Подставим \(|\mathbf b|^2=2x-460\):

\[ \frac23\bigl(x-(2x-460)\bigr)+\frac1{12}(784-x)=0. \]

Умножим на \(12\):

\[ 8(460-x)+(784-x)=0. \]

\[ 3680-8x+784-x=0, \]

\[ 9x=4464, \]

\[ x=496. \]

Тогда из (1):

\[ |\mathbf b|^2=2\cdot496-460=532. \]

Теперь

\[ \vec{CD}=\vec{AD}-\vec{AC} =\frac23\mathbf b+\frac1{12}\mathbf c-\mathbf c =\frac23\mathbf b-\frac{11}{12}\mathbf c. \]

Возводим в квадрат:

\[ CD^2=\frac49|\mathbf b|^2+\frac{121}{144}|\mathbf c|^2-\frac{11}{9}x. \]

Подставляем найденные значения:

\[ CD^2= \frac49\cdot532+ \frac{121}{144}\cdot784- \frac{11}{9}\cdot496. \]

\[ CD^2= \frac{2128+5929-5456}{9} =\frac{2601}{9} =289. \]

Значит,

\[ CD=\sqrt{289}=17. \]

Ответ:
а) доказано;
б) \(\boxed{CD=17}\).

Проверка: \(17^2=289\), все подстановки сходятся. Главный приём здесь — записать точки через векторы сторон и использовать равенство векторов для параллельности, а перпендикулярность — через нулевое скалярное произведение.