сделай с рисунком

Краткий ответ. а) \(ADA_1B_1\) — параллелограмм; б) \(CD=17\).

Рисунок. Для пункта (а) нарисуй треугольник \(ABC\) и отметь точки по данным отношениям:

• \(C_1\in AB\), ближе к \(B\), так как \(AC_1:C_1B=8:3\);
• \(A_1\in BC\), ближе к \(B\), так как \(BA_1:A_1C=1:2\);
• \(B_1\in AC\), ближе к \(A\), так как \(CB_1:B_1A=3:1\).

Проведи \(BB_1\) и \(CC_1\), их пересечение — точка \(D\). Соедини \(A,D,A_1,B_1\).

Для пункта (б) точный чертёж можно построить по координатам: \[ B(0;0),\quad C(18;0),\quad A(2;4\sqrt{33}), \] \[ A_1(6;0),\quad B_1(6;3\sqrt{33}),\quad D(2;\sqrt{33}),\quad C_1\left(\frac6{11};\frac{12\sqrt{33}}{11}\right). \] Соедини \(A-B-C-A\), а также \(B\) с \(B_1\), \(C\) с \(C_1\), \(A\) с \(D\), \(D\) с \(A_1\), \(A_1\) с \(B_1\).

а) Докажем, что \(ADA_1B_1\) — параллелограмм

Пусть \(A\) — начало координат, \[ \overrightarrow{AB}=\mathbf b,\qquad \overrightarrow{AC}=\mathbf c. \]

Из данных отношений: \[ C_1=\frac8{11}\mathbf b, \] так как \(AC_1\) составляет \(8\) частей из \(11\);

\[ A_1=\frac23\mathbf b+\frac13\mathbf c, \] так как \(BA_1:A_1C=1:2\);

\[ B_1=\frac14\mathbf c, \] так как \(CB_1:B_1A=3:1\), то есть \(AB_1=\frac14AC\).

Пусть \(D\) лежит на \(BB_1\). Тогда \[ D=(1-t)\mathbf b+\frac t4\mathbf c. \] Пусть также \(D\) лежит на \(CC_1\): \[ D=\frac{8s}{11}\mathbf b+(1-s)\mathbf c. \] Приравнивая коэффициенты при \(\mathbf b\) и \(\mathbf c\), получаем \[ 1-t=\frac{8s}{11},\qquad \frac t4=1-s. \] Отсюда \[ t=\frac13,\qquad s=\frac{11}{12}. \] Значит, \[ D=\frac23\mathbf b+\frac1{12}\mathbf c. \]

Теперь \[ \overrightarrow{AD}=\frac23\mathbf b+\frac1{12}\mathbf c, \] а \[ \overrightarrow{B_1A_1} =A_1-B_1 =\frac23\mathbf b+\left(\frac13-\frac14\right)\mathbf c =\frac23\mathbf b+\frac1{12}\mathbf c. \] То есть \[ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B_1A_1}. \]

Кроме того, \[ \overrightarrow{DA_1}=A_1-D=\frac14\mathbf c, \] \[ \overrightarrow{AB_1}=B_1-A=\frac14\mathbf c. \] Значит, \[ \overrightarrow{DA_1}=\overrightarrow{AB_1}. \]

Противоположные стороны четырёхугольника \(ADA_1B_1\) равны и параллельны, поэтому \(ADA_1B_1\) — параллелограмм.

б) Найдём \(CD\)

Положим \[ B(0;0),\qquad C(18;0),\qquad A(x;y). \] Тогда \(BC=18\).

Из найденного в пункте (а) представления для точки \(D\): \[ D=\frac14A+\frac23B+\frac1{12}C. \] Подставляем координаты: \[ D=\left(\frac x4+\frac32;\frac y4\right). \]

Вектор \[ \overrightarrow{AD}=\left(\frac32-\frac{3x}{4};-\frac{3y}{4}\right). \] Вектор \(\overrightarrow{BC}=(18;0)\), то есть \(BC\) горизонтален. Условие \(AD\perp BC\) означает, что \(x\)-компонента \(\overrightarrow{AD}\) равна нулю: \[ \frac32-\frac{3x}{4}=0. \] Отсюда \[ x=2. \]

Теперь используем \(AC=28\): \[ (18-x)^2+y^2=28^2. \] При \(x=2\): \[ 16^2+y^2=784, \] \[ 256+y^2=784, \] \[ y^2=528. \]

Тогда \[ D=\left(2;\frac y4\right), \] и \[ CD^2=(18-2)^2+\left(\frac y4\right)^2 =16^2+\frac{528}{16} =256+33 =289. \] Следовательно, \[ CD=17. \]

Проверка. При \(x=2\) точка \(D\) имеет ту же \(x\)-координату, что и \(A\), поэтому \(AD\) вертикален, а \(BC\) горизонтален — перпендикулярность выполнена. \(CD^2=289\), значит \(CD=17\).