111. Является ли число 3 корнем уравнения: а) 5(2x − 1) = 8x + 1; б) (x − 4)(x + 4) = 7?

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
111. Является ли число 3 корнем уравнения:
а) $5(2x-1)=8x+1$; б) $(x-4)(x+4)=7$?

112. Какие из чисел −2, −1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:
а) $x^{2}=10-3x$; б) $x(x^{2}-7)=6$?

113. Является ли корнем уравнения $x(x-5)=6$ число:
а) 1; б) −1; в) 6; г) −6?

114. Докажите, что каждое из чисел 7, −3 и 0 является корнем уравнения $x(x+3)(x-7)=0$.

115. Докажите, что каждое из чисел 1,2 и −1,2 является корнем уравнения $x^{2}=1,44$.

Answer

Краткий ответ

111. а) да, $3$ — корень; б) нет, $3$ не корень.

112. а) только $2$; б) числа $-2,\ -1,\ 3$.

113. а) нет; б) да; в) да; г) нет.

114–115. Утверждения верны — при подстановке каждого числа получается верное равенство (проверка ниже).

Принцип

Корень уравнения — это число, при подстановке которого получается верное числовое равенство. Поэтому любое такое задание решается одинаково: подставить число, отдельно посчитать левую и правую части, сравнить их. Если части равны — корень, если нет — не корень.

111. Уравнение $5(2x-1)=8x+1$, проверяем $x=3$:
левая часть $5\cdot(6-1)=25$, правая $8\cdot 3+1=25$. $25=25$ — да, корень.
Уравнение $(x-4)(x+4)=7$, $x=3$: слева $(3-4)(3+4)=-1\cdot 7=-7$, справа $7$. $-7\neq 7$ — не корень.

112. а) $x^{2}=10-3x$: при $x=-2$ будет $4$ и $16$; при $x=-1$ — $1$ и $13$; при $x=0$ — $0$ и $10$; при $x=2$ — $4$ и $4$ (совпало); при $x=3$ — $9$ и $1$. Корень один: $x=2$.
б) $x(x^{2}-7)=6$: при $x=-2$: $-2\cdot(4-7)=-2\cdot(-3)=6$ — да; при $x=-1$: $-1\cdot(1-7)=6$ — да; при $x=0$: $0$ — нет; при $x=2$: $2\cdot(4-7)=-6$ — нет; при $x=3$: $3\cdot(9-7)=6$ — да.

113. Уравнение $x(x-5)=6$:
а) $1\cdot(1-5)=-4\neq 6$; б) $-1\cdot(-1-5)=-1\cdot(-6)=6$ — да; в) $6\cdot(6-5)=6$ — да; г) $-6\cdot(-6-5)=-6\cdot(-11)=66\neq 6$.

114. Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. В уравнении $x(x+3)(x-7)=0$ три множителя: $x$, $x+3$, $x-7$.
При $x=7$ обнуляется $x-7$: $7\cdot 10\cdot 0=0$. При $x=-3$ обнуляется $x+3$: $-3\cdot 0\cdot(-10)=0$. При $x=0$ обнуляется $x$: $0\cdot 3\cdot(-7)=0$. Значит, каждое из чисел $7,\ -3,\ 0$ — корень.

115. $1{,}2^{2}=1{,}44$ и $(-1{,}2)^{2}=1{,}44$: квадрат уничтожает знак минус, поэтому оба числа удовлетворяют уравнению $x^{2}=1{,}44$, то есть оба являются корнями.

Проверка вывода: для 112 б) подставим $x=3$ в исходное: $3\cdot(9-7)=3\cdot 2=6$ — сходится с правой частью, значит найденные корни верны.