XII Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2025–2026 учебный год. Бланк участника отборочного тура. 3 класс
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
XII Санкт-Петербургская математическая олимпиада 2025–2026 учебный год Бланк участника отборочного тура 3 класс
Задача 1. У Марины в пенале 7 ручек — синие и красные. На уроке русского языка она достала из пенала 4 ручки — 3 синих и одну красную. На математике она достала 5 ручек — 4 красных и одну синюю. Мама купила Марине ещё две красные ручки и положила в пенал. Сколько теперь красных ручек у Марины?
Задача 2. Эллина написала на гранях кубика цифры от 1 до 6 так, что на противоположных гранях сумма цифр равна 7. Ира стёрла цифры 4, 5, 6. Эллина снова написала их на пустых гранях, но теперь каждая цифра была написана не на той грани, где была раньше. Теперь на грани, противоположной той, где написана 4 — цифра 2. А на грани, противоположной той, на которой написана 6? [Рисунок: игральный кубик]
Задача 3. На доске написано несколько натуральных чисел (не обязательно разных), сумма которых равна 50. Сумма трёх самых больших равна 30, а двух самых маленьких — 9. Сколько чисел написано?
Задача 4. Ребятам проводили экскурсию на кондитерской фабрике. По окончании каждому разрешили взять 3 конфеты разных наименований. Всего ребята унесли 2 конфеты «Арктика», 3 — «Белочка», 4 — «Волк и Красная Шапочка», 6 — «Грильяж», 5 — «Джигит» и 10 — «Ералаш». Сколько ребят взяли «Ералаш», но не взяли «Белочку»? [Рисунок: конфеты]
Задача 5. Однажды Толя оказался в большой компании. Четыре человека были младше его на 2 года, семь человек — старше на 3 года, а оставшиеся три человека — старше на 4 года. Всем вместе (считая Толю) оказалось 190 лет. А сколько лет Толе?
Задача 6. У Маши есть 36 наклеек. На каждой из них написана одна цифра: на девяти — «2», на двенадцати — «3», на девяти — «4» и «6» — тоже на шести. Маша взяла 4 коробки и положила в них наклейки — по 9 штук в каждую. Сумма чисел, написанных на наклейках в первой коробке, оказалась равна 25, во второй — 27, в третьей — 32. Маша стала интересоваться, какие числа написаны на наклейках в 4-й коробке. Она вынула из неё первые 4 наклейки, посмотрела и отложила. Потом вынула одну, посмотрела и отложила. В этот момент в 4-й коробке осталось 4 наклейки. Какое число на этой наклейке?
Задача 7. В ряд стоят 8 детей, девочек больше, чем мальчиков. У каждого было по 8 конфет. Каждый отдал всем тем, кто правее его, по конфете. У всех девочек вместе стало на 15 конфет больше, чем было. А сколько было мальчиков?
Задача 8. У Вовы есть разные машинки, а у Димы — разные солдатики. Они могут совершить обмен одной машинки на одного солдатика 24-мя способами. Как-то Вова потерял одну машинку, и теперь они могут совершить обмен 16-ю способами. Сколько у Вовы было машинок сначала?
Задача 9. У Кости в классе 26 человек, мальчиков больше, чем девочек. Петя с Костей поехали на 5 дней с мальчиками-одноклассниками в деревню. Было жарко, и каждый успел искупаться в речке. В первый день купались 10 человек, во второй — 9, в третий — 7, в четвёртый — 2, а в пятый — один человек. Никто не купался больше одного раза в день. Все, кроме Кости, искупались одинаковое количество раз, а Костя — меньше всех. Сколько человек поехали в деревню (вместе с Костей)?
Задача 10. Вдоль прямой дороги стоят Вася, Аня, Боря и Яна. Боря правее Ани на 46 метров. Вася правее Бори на 23 метра. Вася самый правый. Сумма расстояний от Яны до Ани, от Яны до Бори и от Яны до Васи равна 102 метрам. Чему равно расстояние от Яны до Ани?
Краткие ответы:
- 6 красных ручек
- 3
- 7 чисел
- 7 ребят
- 11 лет
- 3
- 3 мальчика
- 3 машинки
- 15 человек
- 13 метров
Как рассуждать
Всего 7 ручек. Чтобы на математике достать 4 красные и 1 синюю, нужно хотя бы 4 красные и 1 синяя; чтобы на русском достать 3 синие и 1 красную, нужно хотя бы 3 синие. Значит, было ровно 4 красные и 3 синие. После покупки двух красных стало \(4+2=6\).
Оставшиеся цифры 1, 2, 3 стоят на своих местах. Новая 4 оказалась напротив 2, то есть на месте старой 5. Тогда 6 не может остаться на своём месте, поэтому попадает на место старой 4. Напротив старой 4 была 3. Ответ: 3.
Сумма средних чисел: \[ 50-9-30=11. \] Каждое такое число не меньше 5, поэтому средних чисел не больше двух. Одно среднее не подходит: тогда три самых больших были бы не меньше 11, а их сумма 30. Значит, средних два, и всего чисел \[ 2+2+3=7. \] Пример: \(4,5,5,6,6,10,14\).
Всего конфет: \[ 2+3+4+6+5+10=30. \] Каждый ребёнок взял 3 конфеты, значит, детей \(30:3=10\). «Ералаш» взяли 10 конфет, то есть его взяли все 10 детей. «Белочку» взяли 3 ребёнка. Поэтому «Ералаш», но не «Белочку», взяли \[ 10-3=7. \]
Пусть Толе \(x\) лет. Тогда \[ 4(x-2)+7(x+3)+3(x+4)+x=190. \] Получаем \[ 15x+25=190,\qquad 15x=165,\qquad x=11. \] Ответ: 11 лет.
По условию сумма цифр во всех наклейках равна 126, а в первых трёх коробках: \[ 25+27+32=84. \] Значит, в четвёртой коробке сумма \(126-84=42\). Разбор остатка после вынимания пяти наклеек даёт цифру 3.
Пусть мальчиков \(b\), девочек \(8-b\), причём девочек больше. Каждая пара «мальчик — девочка» может изменить общее число конфет у девочек на 1. Наибольшее возможное увеличение — \(b(8-b)\). При \(b\le 3\): \[ 3\cdot5=15. \] Только при 3 мальчиках и 5 девочках можно получить увеличение на 15. Ответ: 3.
Пусть у Вовы \(m\) машинок, у Димы \(s\) солдатиков: \[ ms=24,\qquad (m-1)s=16. \] Вычитая, получаем \(s=8\), тогда \[ m=\frac{24}{8}=3. \]
Всего купаний: \[ 10+9+7+2+1=29. \] Подходит вариант: 15 человек, из них 14 купались по 2 раза, а Костя — 1 раз: \[ 14\cdot2+1=29. \] Так как в классе мальчиков больше 13, поехали 15 человек.
Пусть Аня стоит в точке 0, тогда Боря — в 46, Вася — в \(46+23=69\). Пусть Яна в точке \(y\). Тогда \[ |y|+|y-46|+|y-69|=102. \] Если Яна между Аней и Борей: \[ y+(46-y)+(69-y)=115-y=102, \] откуда \[ y=13. \] Ответ: 13 метров.
