402. Постройте график уравнения: а) xy = 6; б) y − 0,5x² = 1; в) x² + y² = 9; г) (x + 1)² + (y − 1)² = 4.

Решаю №402 — он подчёркнут на фото.

Кратко:

• а) \(xy=6\) — гипербола \(y=\dfrac{6}{x}\), две ветви в I и III четвертях;
• б) \(y-0{,}5x^2=1\) — парабола \(y=0{,}5x^2+1\), ветви вверх, вершина \((0;1)\);
• в) \(x^2+y^2=9\) — окружность с центром \((0;0)\), радиус \(3\);
• г) \((x+1)^2+(y-1)^2=4\) — окружность с центром \((-1;1)\), радиус \(2\).

Как построить

а) \(xy=6\)
Выражаем \(y\):

\[ y=\frac{6}{x},\qquad x\ne0. \]

Берём точки:

Соединяем плавно точки с положительными координатами — одна ветвь, с отрицательными — вторая.
Оси \(x=0\) и \(y=0\) являются асимптотами: график к ним приближается, но не пересекает их. Ветви нельзя соединять через начало координат.

б) \(y-0{,}5x^2=1\)
\[ y=0{,}5x^2+1. \]

Это парабола \(y=x^2\), растянутая по вертикали в \(0{,}5\) раза и поднятая на \(1\) вверх. Вершина — \((0;1)\).
Опорные точки: \((-2;3)\), \((0;1)\), \((2;3)\), \((-4;9)\), \((4;9)\).

в) \(x^2+y^2=9\)
Сравниваем со стандартным уравнением окружности:

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. \]

Здесь центр \((0;0)\), а \(R^2=9\), значит \(R=3\).
Точки на осях: \((3;0)\), \((-3;0)\), \((0;3)\), \((0;-3)\).

г) \((x+1)^2+(y-1)^2=4\)
Центр окружности: \((-1;1)\), радиус:

\[ R=\sqrt4=2. \]

Крайние точки: \((-3;1)\), \((1;1)\), \((-1;3)\), \((-1;-1)\).
Важно: центр \((-1;1)\) не принадлежит окружности.

Проверка

Например: \[ 2\cdot3=6, \] \[ 3-0{,}5\cdot2^2=3-2=1, \] \[ 3^2+0^2=9, \] \[ (-3+1)^2+(1-1)^2=(-2)^2=4. \]

Все точки подходят, значит графики определены верно.