Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

Как решать такие уравнения

Это квадратное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\), где \(a=1,\ b=-5,\ c=6\). Есть три равноправных пути — выбери удобный.

1. Через дискриминант (универсальный способ)

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

2. По теореме Виета (быстро, когда \(a=1\))

Сумма корней равна \(-b=5\), произведение равно \(c=6\). Ищем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6 \]

3. Разложением на множители

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\), то есть \(x=2\) или \(x=3\).

Проверка

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип на будущее: сначала посчитай дискриминант. Если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет. При \(a=1\) и целых корнях Виета экономит время: подбираешь числа по сумме и произведению.