Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

№ 4. Равнобедренная трапеция

Ответ: 54°, 54°, 126°, 126°.

Ход решения:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов при большем основании 108°, значит каждый из них: \[ 108^\circ : 2 = 54^\circ. \]
2. Углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают 180° (внутренние односторонние при параллельных основаниях и секущей-боковой стороне), поэтому угол при меньшем основании: \[ 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ. \]
3. Таких углов тоже два. Проверка: \(54^\circ + 54^\circ + 126^\circ + 126^\circ = 360^\circ\) — верно.

№ 5. Ромб \(ABCD\), высота \(BK\)

Ответ: \(BD = 5\) см.

Ход решения:

1. \(BK \perp AD\), значит треугольник \(ABK\) прямоугольный, \(\angle AKB = 90^\circ\), \(\angle ABK = 30^\circ\). Тогда \[ \angle BAK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ. \]
2. В прямоугольном треугольнике \(ABK\) катет \(AK = 2{,}5\) см прилежит к углу \(A\), поэтому \[ \cos 60^\circ = \frac{AK}{AB} \;\Rightarrow\; AB = \frac{2{,}5}{0{,}5} = 5 \text{ см}. \]
3. Все стороны ромба равны: \(AB = AD = 5\) см, а \(\angle BAD = 60^\circ\). Значит треугольник \(ABD\) равнобедренный с углом \(60^\circ\) при вершине \(A\), то есть равносторонний: \[ BD = AB = 5 \text{ см}. \]
4. Проверка: в равностороннем треугольнике \(ABD\) высота \(BK\) делит \(AD\) пополам, поэтому \(AK = 2{,}5\) см — сходится с условием.

Если нужно, могу показать, как решать такие задачи на чертеже без вычисления косинуса — через свойство катета против угла 30°.

Оформляю оба номера по схеме «Дано — Найти — Решение».

№ 4

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AD\) — большее основание, сумма углов при основании \(AD\) равна \(108^\circ\).

Найти: все углы трапеции.

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому \[ \angle A = \angle D = 108^\circ : 2 = 54^\circ. \]

2. Углы, прилежащие к боковой стороне, — внутренние односторонние при \(AD \parallel BC\) и секущей \(AB\), их сумма \(180^\circ\): \[ \angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ. \]

3. В равнобедренной трапеции \(\angle C = \angle B = 126^\circ\).

Проверка: \(54^\circ + 54^\circ + 126^\circ + 126^\circ = 360^\circ\).

Ответ: \(\angle A = \angle D = 54^\circ\), \(\angle B = \angle C = 126^\circ\).

№ 5

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(BK \perp AD\), \(K \in AD\), \(AK = 2{,}5\) см, \(\angle ABK = 30^\circ\).

Найти: \(BD\).

Решение:

1. Треугольник \(ABK\) прямоугольный (\(\angle AKB = 90^\circ\)), значит \[ \angle BAK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ. \] Это же угол \(BAD\) ромба, то есть \(\angle BAD = 60^\circ\).

2. В прямоугольном треугольнике \(ABK\) катет \(AK\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому он равен половине гипотенузы \(AB\): \[ AK = \frac{AB}{2} \;\Rightarrow\; AB = 2 \cdot 2{,}5 = 5 \text{ см}. \]

3. В ромбе \(AB = AD = 5\) см. Треугольник \(ABD\) равнобедренный с углом \(60^\circ\) при вершине \(A\), то есть равносторонний: \[ BD = AB = 5 \text{ см}. \]

Проверка: в равностороннем треугольнике \(ABD\) высота \(BK\) делит \(AD\) пополам, поэтому \(AK = 5 : 2 = 2{,}5\) см — совпадает с условием.

Ответ: \(BD = 5\) см.