308. Решите неравенство:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите неравенство: а) \(x^2 < 16\); б) \(x^2 \geq 3\); в) \(0,2x^2 > 1,8\); г) \(-5x^2 \leq x\); д) \(3x^2 < -2x\); е) \(7x < x^2\).
- Решите неравенство: а) \(0,01x^2 \leq 1\); б) \(\frac{1}{2}x^2 > 12\); в) \(4x \leq -x^2\); г) \(\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9}\); д) \(5x^2 > 2x\); е) \(-0,3x < 0,6x^2\).
На фото два задания — 308 и 309. Решу оба, чтобы ты мог сверить. Общий принцип: неравенство приводим к виду \(ax^2+bx+c \gtrless 0\). Корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) делят числовую прямую на промежутки; знак квадратичной функции определяем по направлению ветвей параболы. При \(a>0\) ветви вверх: функция отрицательна между корнями и положительна вне их. Для нестрогих неравенств корни включаем.
308. а) \(x^2 < 16\). Корни \(-4\) и \(4\). Ответ: \(x \in (-4; 4)\). б) \(x^2 \geq 3\). Корни \(-\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\). Ответ: \(x \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty)\). в) \(0,2x^2 > 1,8\). Умножим на 5: \(x^2 > 9\). Корни \(-3\) и \(3\). Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\). г) \(-5x^2 \leq x\). Перенесём: \(-5x^2 - x \leq 0\). Умножим на \(-1\): \(5x^2 + x \geq 0\), то есть \(x(5x+1) \geq 0\). Корни \(-1/5\) и \(0\). Ответ: \(x \in (-\infty; -1/5] \cup [0; +\infty)\). д) \(3x^2 < -2x\). \(3x^2 + 2x < 0\), то есть \(x(3x+2) < 0\). Корни \(-2/3\) и \(0\). Ответ: \(x \in (-2/3; 0)\). е) \(7x < x^2\). \(x^2 - 7x > 0\), то есть \(x(x-7) > 0\). Корни \(0\) и \(7\). Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (7; +\infty)\).
309. а) \(0,01x^2 \leq 1\). Умножим на 100: \(x^2 \leq 100\). Корни \(-10\) и \(10\). Ответ: \(x \in [-10; 10]\). б) \(\frac{1}{2}x^2 > 12\). Умножим на 2: \(x^2 > 24\). Корни \(\pm 2\sqrt{6}\). Ответ: \(x \in (-\infty; -2\sqrt{6}) \cup (2\sqrt{6}; +\infty)\). в) \(4x \leq -x^2\). \(x^2 + 4x \leq 0\), то есть \(x(x+4) \leq 0\). Корни \(-4\) и \(0\). Ответ: \(x \in [-4; 0]\). г) \(\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9}\). Умножим на 9: \(3x^2 > 1\), то есть \(x^2 > 1/3\). Корни \(\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\). Ответ: \(x \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty\right)\). д) \(5x^2 > 2x\). \(5x^2 - 2x > 0\), то есть \(x(5x-2) > 0\). Корни \(0\) и \(2/5\). Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (2/5; +\infty)\). е) \(-0,3x < 0,6x^2\). Перенесём: \(0,6x^2 + 0,3x > 0\). Разделим на \(0,3\): \(2x^2 + x > 0\), то есть \(x(2x+1) > 0\). Корни \(-1/2\) и \(0\). Ответ: \(x \in (-\infty; -1/2) \cup (0; +\infty)\).
Проверка: подстановка контрольных точек подтверждает промежутки. Например, в 308 а) \(x=0\): \(0<16\) — верно, \(x=5\): \(25<16\) — неверно; в 309 е) \(x=1\): \(-0,3<0,6\) — верно, \(x=-0,25\): \(0,075<0,0375\) — неверно, что соответствует исключению точки.
