№279 подпункты д) и е)

Кратко

№279 д) \(2x^4-9x^2+4=0\) — корни \(x=\pm 2\) и \(x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). №279 е) \(5y^4-5y^2+2=0\) — действительных корней нет.

Почему так: идея замены

Биквадратное уравнение содержит только \(x^4\) и \(x^2\). Поэтому вводим замену \[t=x^2,\qquad t\ge 0.\] Ограничение \(t\ge 0\) — главное: квадрат числа не бывает отрицательным, поэтому отрицательные корни вспомогательного уравнения отбрасываем.

д) \(2x^4-9x^2+4=0\)

Пусть \(t=x^2\): \[2t^2-9t+4=0,\qquad D=81-4\cdot 2\cdot 4=81-32=49.\] \[t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{4}\ \Rightarrow\ t_1=4,\quad t_2=\frac{1}{2}.\] Оба значения неотрицательны, значит оба дают корни: \[x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2,\qquad x^2=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Ответ: \(x=\pm 2,\ \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Проверка подстановкой: при \(x=2\) получаем \(32-36+4=0\); при \(x^2=\frac{1}{2}\) получаем \(0{,}5-4{,}5+4=0\). Верно.

е) \(5y^4-5y^2+2=0\)

Пусть \(t=y^2\): \[5t^2-5t+2=0,\qquad D=25-4\cdot 5\cdot 2=25-40=-15<0.\] Дискриминант отрицательный — вспомогательное уравнение корней не имеет, а значит и исходное тоже.

Ответ: корней нет.

Как действовать в похожем задании

1. Сделай замену \(t=x^2\) (или \(t=y^2\)), обязательно запиши условие \(t\ge 0\).
2. Реши квадратное уравнение относительно \(t\): найди \(D\) и корни.
3. Оставь только \(t\ge 0\) — отрицательные значения отбрасывай.
4. Для каждого подходящего \(t\) реши \(x^2=t\): \(x=\pm\sqrt{t}\).
5. Если \(D<0\) или все \(t<0\) — пиши «корней нет».