Ответ на вопрос

Ниже решения задач 5–8 с фото.

5. Шарики

Ответ: если в тесте нужен один вариант, то В. На три (но см. замечание ниже).

Пусть всего \(N\) шариков. Белых \(0{,}48N=\frac{12}{25}N\), значит \(N\) кратно \(25\). Так как \(N\le 80\), то \(N=25,50,75\).

Белых \(\frac{12N}{25}\), чёрных \(\frac{13N}{25}\), разница: \[ \frac{13N}{25}-\frac{12N}{25}=\frac{N}{25}. \] После того как вытащили 5 шаров, стало поровну, поэтому разницу нужно «погасить» пятью шарами. Для \(N=50\) это невозможно, а подходят:

• \(N=25\): было 12 белых и 13 чёрных, вытащили 2 белых и 3 чёрных — разница была 1;
• \(N=75\): было 36 белых и 39 чёрных, вытащили 1 белый и 4 чёрных — разница была 3.

То есть формально подходят и «на один», и «на три». Если в тесте предполагается единственный ответ, то, судя по вариантам, выбирают на три.

6. Антон, Борис, Владимир, Георгий и Демьян

Ответ: Г. Демьянов на 10 лет.

Обозначим возрасты. По условию: \[ \text{Антонов}-\text{Антон}=1, \] \[ \text{Борисов}-\text{Борис}=2, \] \[ \text{Владимиров}-\text{Владимир}=3, \] \[ \text{Георгиев}-\text{Георгий}=4. \]

Сумма возрастов всех людей с фамилиями равна сумме возрастов всех людей с именами (это одни и те же пять человек). Сложим четыре разности: \[ 1+2+3+4=10. \] Значит, чтобы суммы сравнялись, пятая разность должна быть \(-10\): \[ \text{Демьянов}-\text{Демьян}=-10, \] то есть Демьянов младше Демьяна на 10 лет.

7. Шары в ряд

Ответ: Б. 360.

Белые шары одинаковые, поэтому сначала расставим их в ряд. Между пятью белыми шарами и по краям есть \(6\) мест: \[ \_\, Б \, \_\, Б \, \_\, Б \, \_\, Б \, \_\, Б \, \_ \] Чёрных шаров \(4\), и никакие два не должны стоять рядом, значит, нужно выбрать \(4\) разных места из \(6\): \[ C_6^4=15. \] Чёрные шары пронумерованы, то есть различимы, поэтому их можно расставить на выбранных местах \(4!\) способами: \[ 4!=24. \] Итого: \[ 15\cdot 24=360. \]

8. Посылки

Ответ: 20 кг.

Сумма всех масс: \[ 9+10+12+13+20+22=86. \] Пусть второй клиент получил посылки суммарной массой \(x\), тогда первый — \(2x\). Третий клиент получил одну посылку массой \(m\). Тогда: \[ x+2x+m=86 \quad\Rightarrow\quad 3x=86-m. \] Значит, \(86-m\) должно делиться на \(3\). Проверяем массы:

• \(m=9\): \(77\) не делится;
• \(m=10\): \(76\) не делится;
• \(m=12\): \(74\) не делится;
• \(m=13\): \(73\) не делится;
• \(m=20\): \(66\) делится, \(x=22\);
• \(m=22\): \(64\) не делится.

Если третий клиент получил \(20\) кг, то остальные посылки: \(9,10,12,13,22\). Второй клиент мог получить \(22\) кг (одну посылку), а первый — \(9+10+12+13=44\) кг, что вдвое больше \(22\). Всё сходится.

Ответ: 20 кг.

Ниже полные решения задач 9–11. В задаче 12 кадр обрывается, поэтому в конце приведён расчёт основных величин по видимой части условия.

9. Банкноты

Нельзя.

Пусть \(x\), \(y\), \(z\) — количество банкнот в 1, 10 и 100 зедов. Тогда \[ x+y+z=40, \] \[ x+10y+100z=1000. \] Вычтем первое уравнение из второго: \[ 9y+99z=960. \] Разделим на 3: \[ 3y+33z=320. \] Слева число делится на 3, а \(320\) на 3 не делится. Противоречие.

Ответ: нельзя.

10. Два участка

Пусть стороны первого участка \(a\) и \(b\) метров. Тогда \[ ab=2(a+b)+10. \] Преобразуем: \[ ab-2a-2b=10, \] \[ (a-2)(b-2)=14. \] Так как стороны целые и не больше 15, возможны только размеры \[ 4\text{ м}\times 9\text{ м}. \] Проверка: площадь \(36\), периметр \(26\), разность \(10\).

Для второго участка со сторонами \(c\) и \(d\): \[ cd=2\cdot 2(c+d)=4(c+d). \] Тогда \[ cd-4c-4d=0, \] \[ (c-4)(d-4)=16. \] Возможные пары: \[ (6;12),\quad (8;8),\quad (12;6). \] То есть второй участок имеет размеры \(6\times 12\) или \(8\times 8\) — квадрат также является прямоугольником.

Ответ: первый участок — \(4\times 9\) м; второй — \(6\times 12\) м или \(8\times 8\) м.

11. Ванна

Объём ванны: \[ V=168\text{ л}. \] Скорость холодной воды: \[ 12\text{ л/мин}. \] Горячая вода заполняет ванну за \(21\) минуту, значит её скорость: \[ \frac{168}{21}=8\text{ л/мин}. \] Вместе: \[ 12+8=20\text{ л/мин}. \]

1) Наполнить полностью

\[ t=\frac{168}{20}=8{,}4\text{ мин}=8\text{ мин }24\text{ с}. \]

Ответ: 8 мин 24 с.

2) Наполнить на три четверти, холодной воды ровно треть

Три четверти ванны: \[ \frac34\cdot168=126\text{ л}. \] Холодная вода должна составлять треть от этих \(126\) л: \[ 126:3=42\text{ л}. \] Тогда горячей воды: \[ 126-42=84\text{ л}. \] Время холодной воды: \[ 42:12=3{,}5\text{ мин}. \] Время горячей воды: \[ 84:8=10{,}5\text{ мин}. \] Краны можно открыть одновременно, поэтому минимальное время равно большему из них: \[ 10{,}5\text{ мин}=10\text{ мин }30\text{ с}. \]

Ответ: 10 мин 30 с.

3) Наполнили до половины, слили половину, добавили половину горячей воды

Половина ванны: \[ 168:2=84\text{ л}. \] Оба крана вместе дают \(20\) л/мин, поэтому: \[ 84:20=4{,}2\text{ мин}=4\text{ мин }12\text{ с}. \]

Затем вылили половину этого объёма, то есть \[ 84:2=42\text{ л}. \] Слив занял \(3\) минуты. В это время можно уже набирать горячую воду: за \(3\) минуты горячий кран добавит \[ 8\cdot3=24\text{ л}. \] После слива и одновременного набора горячей воды в ванне будет: \[ 84-42+24=66\text{ л}. \] Нужно получить три четверти ванны: \[ 126\text{ л}. \] Остаётся добавить горячей воды: \[ 126-66=60\text{ л}. \] Это займёт: \[ 60:8=7{,}5\text{ мин}=7\text{ мин }30\text{ с}. \] Общее минимальное время: \[ 4{,}2+3+7{,}5=14{,}7\text{ мин}=14\text{ мин }42\text{ с}. \]

Ответ: 14 мин 42 с.

Если считать, что слив и набор горячей воды нельзя совмещать, получится \(17\) мин \(42\) с, но слово «наименьшее» указывает на вариант с совмещением.

12. Ипотека

По видимой части условия: \[ S=1\,200\,000\text{ руб.},\qquad n=10\cdot12=120\text{ месяцев}, \] \[ r=1\%=0{,}01\text{ в месяц}. \] Основной долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же сумму: \[ d=\frac{1\,200\,000}{120}=10\,000\text{ руб.} \]

Первый платёж: \[ 10\,000+0{,}01\cdot1\,200\,000 =10\,000+12\,000 =22\,000\text{ руб.} \] Последний платёж: \[ 10\,000+0{,}01\cdot10\,000 =10\,000+100 =10\,100\text{ руб.} \]

Общая сумма процентов: \[ 0{,}01\cdot1\,200\,000\cdot\frac{120+1}{2} =12\,000\cdot60{,}5 =726\,000\text{ руб.} \] Общая сумма выплат: \[ 1\,200\,000+726\,000=1\,926\,000\text{ руб.} \]

Если в задаче требуется найти общую сумму выплат, ответ: \(1\,926\,000\) руб.; переплата — \(726\,000\) руб.

Вопрос задачи 12 в кадре обрезан — если нужно другое, пришли последнюю строку условия.